设函数 f(x) 在 [1, 4] 内具有二阶导数, 且 3f(2) = 2f(1) + f(4), 证明在(1, 4)内存在一点 ξ, 使得 f''(ξ) = 0 Mathematical Formulas/Conditions: Domain: [1, 4] Derivative property: f(x) has a second derivative on [1, 4]. Condition: 3f(2) = 2f(1) + f(4) To prove: There exists ξ ∈ (1, 4) such that f''(ξ) = 0---Here is the extraction of the content from the image: **Question 24** **Question Stem:** 设函数 f(x) 在 [1, 4] 内具有二阶导数, 且 3f(2) = 2f(1) + f(4), 证明在(1, 4)内存在一点 ξ, 使得 f''(ξ) = 0 **Mathematical Formulas/Conditions:** - Domain: [1, 4] - Derivative property: f(x) has a second derivative on [1, 4]. - Condition: 3f(2) = 2f(1) + f(4) - To prove: There exists ξ ∈ (1, 4) such that f''(ξ) = 0

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我们需要证明一个关于二阶导数的存在性问题。已知函数f(x)在区间[1,4]内具有二阶导数，并且满足条件3f(2)等于2f(1)加f(4)。我们要证明在开区间(1,4)内存在一点ξ，使得f的二阶导数在该点等于零。这是一个典型的利用罗尔定理的证明问题。 为了应用罗尔定理，我们需要构造一个合适的辅助函数。定义h(x)等于f(x)减去一个线性函数，这个线性函数是通过点(1,f(1))和点(4,f(4))的直线。具体地，h(x)等于f(x)减去f(1)加上f(4)减f(1)除以3再乘以x减1。这样构造的目的是让辅助函数在端点处为零。 现在我们验证辅助函数h(x)的关键性质。首先计算h在三个关键点的值。h(1)等于f(1)减去f(1)，显然等于0。h(4)经过计算也等于0。对于h(2)，我们利用已知条件3f(2)等于2f(1)加f(4)，可以推导出f(2)等于2f(1)加f(4)除以3，因此h(2)也等于0。这样我们得到了h(1)等于h(2)等于h(4)等于0，这为应用罗尔定理创造了条件。 现在我们应用罗尔定理来完成证明。首先在区间[1,2]上，由于h(1)等于h(2)等于0，且h(x)在此区间上连续可导，根据罗尔定理，存在c₁属于开区间(1,2)，使得h'(c₁)等于0。同样地，在区间[2,4]上，存在c₂属于开区间(2,4)，使得h'(c₂)等于0。接下来，我们对h'(x)在区间[c₁,c₂]上再次应用罗尔定理，由于h'(c₁)等于h'(c₂)等于0，存在ξ属于开区间(c₁,c₂)，使得h''(ξ)等于0。 最后我们完成证明的关键步骤。由于辅助函数h(x)的二阶导数h''(x)等于f''(x)减去0，也就是f''(x)本身，因此当h''(ξ)等于0时，我们立即得到f''(ξ)等于0。综合前面的分析，我们成功证明了在开区间(1,4)内存在一点ξ，使得f的二阶导数在该点等于零。这个证明巧妙地利用了罗尔定理的两次应用，体现了微分中值定理在解决存在性问题中的重要作用。