视频字幕
极限是数学分析的核心概念。它描述了当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。比如这个函数 f(x) = 2 - 1/x，当 x 趋向无穷大时，函数值无限接近 2。我们说这个函数在 x 趋向无穷时的极限是 2。
函数极限的严格定义是：当 x 趋近于 a 时，函数 f(x) 的极限是 L，记作 lim f(x) = L。这意味着当 x 无限接近 a 时，f(x) 的值可以任意接近 L。图中显示了一个例子，当 x 趋近于 2 时，函数值趋近于 4，即使在 x=2 处函数可能没有定义。
数列极限描述的是当项数趋于无穷大时，数列项的变化趋势。例如数列 aₙ = 1/n，当 n 越来越大时，1/n 越来越接近 0。我们说这个数列的极限是 0。图中的蓝色点表示数列的各项，可以看到随着 n 增大，点越来越接近红色的极限线 y = 0。
极限有重要的运算法则。两个函数和的极限等于各自极限的和，乘积的极限等于极限的乘积，商的极限等于极限的商（分母极限不为零时）。常数与函数乘积的极限等于常数乘以函数的极限。图中展示了函数加法的例子：f(x) = x + 1 和 g(x) = 2 的和函数是 x + 3。
极限在数学和科学中有广泛应用。最重要的是导数的定义，它是函数在某点处切线斜率的极限。图中展示了当 h 趋近于 0 时，割线逐渐接近切线的过程。极限还用于定义积分、判断函数连续性、计算无穷级数，以及解决物理和工程中的实际问题。极限是微积分的基础，是现代数学分析的核心概念。