请以数学名师的讲解一下以上图片上的技巧专题，要求生动，易懂，同时用总结的技巧方法可以秒杀同类型题目---**Title:** 高考数学 (Gaokao Mathematics) **Subject:** 题型 073 类导数综合问题解题技巧 (端点效应 (必要性探索)、函数的凹凸性、洛必达法则) (Topic 073 Type of Comprehensive Calculus Problems Solving Skills (Endpoint Effect (Necessity Exploration), Function Concavity and Convexity, L'Hopital's Rule)) **Section: 技巧 01 端点效应 (必要性探索) 解题技巧 (Skill 01 Endpoint Effect (Necessity Exploration) Solving Skills)** **Subsection: 知识迁移 识高考·常见题型解读 (Knowledge Transfer Understanding Gaokao Common Problem Types Interpretation)** 导数压轴中我们经常遇到恒成立问题, 含有参数的导数不等式恒成立求参数的取值范围问题, 是热点和重点问题. 题型、方法灵活多样, 常见的方法有: ①分离参数 (全分离或半分离) + 函数最值; ②直接 (或移项转化) 求导分类讨论. 但以上两种方法都有缺陷, 首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是函数最值点无法取到, 即无定义, 这时就需要用到超级的方法: 洛必达法则. 其次, 对于方法②直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去, 或是无法排除原问题在该区间是否恒成立的情况, 即讨论界点不明. 基于以上两点, 我们今天这讲就来解决这两个不足之处, 基本对策就是先必要、后充分的思想. 该思想就是当参数分离较为困难、带参讨论界点不明时, 含参不等式问题还可以采用先抓住一些关键点 (区间端点, 可使不等式部分等于零的特殊值等), 将这些关键点代入不等式解出参数的范围, 获得结论成立的必要的条件, 再论证充分性, 从而解决问题. **Section: 知识迁移 端点效应的类型 (Knowledge Transfer Endpoint Effect Types)** 端点效应的类型 1. 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上, $f(x) \ge 0$ 恒成立, 则 $f(a) \ge 0$ 或 $f(b) \ge 0$. 2. 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上, $f(x) \ge 0$ 恒成立, 且 $f(a) = 0$ (或 $f(b) = 0$), 则 $f'(a) \ge 0$ (或 $f'(b) \le 0$). 3. 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上, $f(x) \ge 0$ 恒成立, 且 $f(a) = 0, f'(a) = 0$ (或 $f(b) = 0, f'(b) = 0$), 则 $f''(a) \ge 0$ (或 $f''(b) \le 0$). **Section: Problems** **例 1. (全国·统考高考真题)** 已知函数 $f(x) = ax - \frac{\sin x}{\cos^2 x}$, $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. (1) 当 $a=8$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性; (2) 若 $f(x) < \sin 2x$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围. **2. (全国·统考高考真题)** 已知函数 $f(x) = e^x + ax^2 - x$. (1) 当 $a=1$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性; (2) 当 $x \ge 0$ 时, $f(x) \ge \frac{1}{2}x^3 + 1$, 求 $a$ 的取值范围. **3. (全国·统考高考真题)** 已知函数 $f(x) = xe^{ax} - e^x$. (1) 当 $a=1$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性; (2) 当 $x > 0$ 时, $f(x) < -1$, 求 $a$ 的取值范围; (3) 设 $n \in \text{N}^*$, 证明: $\frac{1}{\sqrt{1^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{2^2+2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} > \ln(n+1)$.