视频字幕
诱导公式是三角函数中的重要内容，它揭示了不同角度之间三角函数值的关系。推导诱导公式的关键是利用单位圆和对称性原理。在单位圆中，任意角α的终边与单位圆的交点P的坐标为(cosα, sinα)。通过研究这个点在不同变换下的位置变化，我们可以推导出各种诱导公式。
现在我们推导负角公式。在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点P，坐标为(cosα, sinα)。角-α的终边与单位圆的交点P'是点P关于x轴的对称点，坐标为(cosα, -sinα)。因此我们得到：cos(-α)等于cosα，sin(-α)等于负sinα，tan(-α)等于负tanα。这就是负角公式。
接下来推导π加α和π减α的公式。对于π加α，其终边与角α的终边关于原点对称，交点坐标为负cosα、负sinα，因此cos(π+α)等于负cosα，sin(π+α)等于负sinα。对于π减α，其终边与角α的终边关于y轴对称，交点坐标为负cosα、sinα，因此cos(π-α)等于负cosα，sin(π-α)等于sinα。
现在推导π/2加α和π/2减α的公式。对于π/2加α，相当于将角α的终边逆时针旋转90度，点P变换到坐标为负sinα、cosα的位置，因此cos(π/2+α)等于负sinα，sin(π/2+α)等于cosα。对于π/2减α，相当于点P关于直线y等于x对称，得到坐标为sinα、cosα的点，因此cos(π/2-α)等于sinα，sin(π/2-α)等于cosα。
通过前面的推导，我们得到了完整的诱导公式体系。为了便于记忆，有一个重要的口诀：奇变偶不变，符号看象限。奇变偶不变是指，对于k倍π/2加减α的形式，当k为奇数时函数名改变，当k为偶数时函数名不变。符号看象限是指，假设α为锐角，判断变换后的角所在象限，确定最终结果的符号。这些诱导公式在简化三角函数计算和解决周期性问题中有重要应用。