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微积分是数学中最重要的分支之一，它主要研究变化率和累积。微积分为我们提供了强大的工具来分析函数在无穷小尺度上的行为。图中展示了微积分的两个核心概念：红色切线代表导数，用于研究变化率；黄色区域代表积分，用于研究累积。
微分学是微积分的第一个核心部分，专门研究函数的变化率。它的核心概念是导数，导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。从几何角度看，导数就是曲线在该点的切线斜率。当点沿着曲线移动时，我们可以看到切线的斜率在不断变化，这就反映了函数变化率的变化。
积分学是微积分的第二个核心部分，专门研究累积过程。它的核心概念是积分，积分描述了无穷小部分的累加。从几何角度看，积分就是曲线下方的面积。我们可以用矩形来近似这个面积，当矩形数量越来越多、宽度越来越小时，就能得到精确的积分值。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它揭示了微分与积分之间的深刻联系。定理表明，微分和积分是互逆运算。当我们对一个积分函数求导时，得到的正是被积函数本身。图中显示了这个关系：随着上限的变化，积分面积在变化，而这个变化率正好等于曲线在该点的函数值。
微积分的应用极为广泛，几乎渗透到科学技术的各个领域。在物理学中，微积分用于描述运动、力学和电磁现象；在工程学中，用于优化设计和控制系统；在经济学中，用于边际分析和最优化问题；在生物学中，用于建立增长模型和研究药物动力学；在统计学中，用于处理概率密度和期望值。微积分为我们理解和描述自然界的动态过程提供了强有力的数学工具。