视频字幕
在工程应用中，我们经常遇到小角度问题。比如单摆的小角度振动，我们通常使用近似sin(θ)等于θ来简化计算。但这个近似会产生误差。今天我们用洛必达法则来分析这个误差的量级。
现在我们开始解决这个问题。首先检查极限的形式：当θ趋近于0时，分子sin(0)减0等于0，分母0的三次方也等于0。这给出了0比0的不定式，正好可以应用洛必达法则。根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导，得到新的极限表达式。
我们需要多次应用洛必达法则。第一次应用后得到cos(θ)减1除以3θ²，检查发现仍然是0比0的形式。第二次应用：分子求导得到负sin(θ)，分母求导得到6θ，仍是0比0。第三次应用：分子求导得到负cos(θ)，分母求导得到6。现在可以直接计算极限了。
通过洛必达法则，我们得到了重要结果：极限值为负六分之一。这告诉我们小角度近似的误差sin(θ)减θ大约等于负θ³除以6。从工程角度看，这个结果非常有价值：误差与θ的三次方成正比，意味着角度越小误差越小，而且下降很快。这帮助工程师评估近似的适用范围和精度要求。
通过这个例子，我们看到洛必达法则不仅是数学计算工具，更是工程分析的利器。它帮助我们量化小角度近似的误差，为单摆振动、弹簧振子、光学偏转等工程问题提供精确的理论基础。这种严谨的数学分析方法，让工程师能够在精度和简化之间找到最佳平衡，做出更明智的设计决策。