视频字幕
要找到函数的最小值，我们首先求导数。f'(x) 等于负2sin x 加 5cos 5x。令导数等于零，得到方程负2sin x 加 5cos 5x 等于零，即 5cos 5x 等于 2sin x。这是一个超越方程，无法用解析方法求解。从导数图像可以看出，导数与 x 轴有多个交点，这些就是临界点。
使用数值方法求解超越方程。我们可以用牛顿法或二分法在区间 0 到 2π 内找到所有临界点。然后计算每个临界点处的函数值，通过比较找出最小值。从计算结果可以看出，函数的最小值约为 -2.909，出现在图中黄色标记的点处。红色点表示其他临界点。
总结我们的求解过程：理论上函数的最小值应该是负3，但通过分析发现，使 cos x 等于负1 和 sin 5x 等于负1 的条件无法同时满足。因此实际最小值约为 -2.9092，非常接近但无法达到理论值。这类复杂三角函数的优化问题在实际应用中很常见，通常需要借助数值方法求解，如梯度下降法或牛顿法等。
让我们总结求解复杂三角函数最值的一般方法。第一步，求导数得到 f'(x) = -2sin x + 5cos 5x。第二步，令导数为零得到方程 -2sin x + 5cos 5x = 0。第三步，由于这是超越方程，需要使用数值方法如牛顿法或二分法求解。第四步，比较所有临界点的函数值找出全局最小值。对于函数 f(x) = 2cos x + sin 5x，最终答案是最小值约为 -2.9092。这种方法适用于所有复杂的三角函数优化问题。