求解答---18. (17分) 已知函数 $f(x) = \ln(1+x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3$，其中 $0 < k < \frac{1}{3}$. (1) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 $x_1, x_2$ 分别为 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 的极值点和零点. (i) 设函数 $g(t) = f(x_1+t) - f(x_1-t)$，证明：$g(t)$ 在区间 $(0, x_1)$ 单调递减； (ii) 比较 $2x_1$ 与 $x_2$ 的大小，并证明你的结论.

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我们需要分析函数 f(x) = ln(1+x) - x + 二分之一x平方 - kx立方，其中k在0到三分之一之间。通过求导分析，可以证明该函数在正实数区间内存在唯一的极值点和唯一的零点。 对函数求导得到 f'(x) = 1/(1+x) - 1 + x - 3kx²。通过整理可得 f'(x) = x²(1-3k-3kx)/(1+x)。令导数为零，解得唯一的临界点 x₁ = (1-3k)/(3k)。由于 k 在 0 到 1/3 之间，所以 x₁ 大于零。分析导数的符号可知，函数在 (0,x₁) 上单调递增，在 (x₁,+∞) 上单调递减，因此 x₁ 是唯一的极大值点。 现在证明零点的存在性和唯一性。首先，f(0) = ln(1) = 0，所以原点是一个零点。当x趋近于0正时，通过泰勒展开可得f(x)约等于(1/3 - k)x³，由于k小于1/3，所以函数值为正。当x趋向正无穷时，主导项-kx³使得函数值趋向负无穷。结合函数的单调性：在(0,x₁)上单调递增，在(x₁,+∞)上单调递减，由连续性和介值定理，在(x₁,+∞)区间内存在唯一的零点x₂。