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群论是研究对称性的数学工具，在量子力学中发挥着重要作用。对称性与物理系统的守恒定律、能级简并以及量子态的分类和跃迁选择定则紧密相关。例如，正方形具有8个对称操作，包括4次旋转和4次反射，它们构成了D4群。
在量子力学中，如果哈密顿量在某个对称变换下保持不变，即对称算符与哈密顿量对易，那么系统就具有对称性。这种对称性导致能量本征态的简并，即多个不同的量子态具有相同的能量。例如，谐振子势具有空间反演对称性，这解释了其能级的简并结构。
量子态所在的矢量空间是对称群的表示空间。对称变换作用于量子态，可以表示为线性算符。这个表示空间可以分解为不可约表示的直和，每个不可约表示对应一个在对称变换下不变的子空间。不可约表示的维度给出了对称性引起的简并度。
群论可以用来推导量子跃迁的选择定则。跃迁矩阵元的计算涉及初态、终态和跃迁算符的不可约表示的乘积。只有当这个乘积包含全对称表示时，跃迁才是允许的，否则矩阵元为零，跃迁被禁戒。这为理解光谱选择定则提供了理论基础。
群论在量子力学中有广泛应用，包括原子和分子轨道的分类、晶体场理论、固体能带结构分析以及粒子物理标准模型。维格纳-埃卡特定理简化了矩阵元素的计算，诺特定理建立了对称性与守恒定律的对应关系。群论为理解量子系统的对称性提供了统一而强大的数学框架。