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傅里叶级数是数学中的一个重要概念，它告诉我们任何周期函数都可以表示为一系列正弦函数和余弦函数的和。比如这个方波，看起来很复杂，但实际上可以用基波和各次谐波来逼近。蓝色曲线是基波，红色曲线是基波加上三次谐波的结果，已经更接近原始方波了。
傅里叶级数的数学表达式包含一个常数项和无穷多个正弦余弦项。常数项a0除以2表示函数的平均值，而an和bn是通过积分计算得到的傅里叶系数。右边的图像展示了随着项数n的增加，傅里叶级数如何逐渐逼近原始的方波函数。
频域分析是傅里叶级数的重要应用。上图显示时域中的方波信号，下图显示其频域表示。方波可以分解为基波和奇次谐波，每个谐波的幅度按1除以n的规律递减。这种分解帮助我们理解信号的频率成分，在信号处理和通信系统中非常重要。
傅里叶级数的收敛性由狄利克雷条件决定。满足条件的函数，其傅里叶级数会收敛到原函数。但在间断点附近会出现吉布斯现象，即无论取多少项，都会有约9%的超调。这个现象在信号处理中需要特别注意，因为它会在滤波器设计中产生振铃效应。
傅里叶级数在现代科学技术中有广泛应用。在信号处理中用于音频压缩和滤波，在图像处理中是JPEG压缩的基础。它还用于求解偏微分方程，分析量子力学中的波函数，以及通信系统的调制解调。右图展示了傅里叶滤波的应用，通过频域分析去除噪声，保留有用信号。傅里叶级数真正体现了数学的美妙和实用性。