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期望、方差和协方差是概率论和统计学中的三个基本概念。期望表示随机变量的平均值，告诉我们数据的中心位置。方差衡量数据围绕期望值的离散程度，方差越大表示数据越分散。协方差则用来衡量两个随机变量之间的线性关系强度。
期望是随机变量最重要的数字特征之一。对于离散型随机变量，期望等于所有可能取值与其概率的乘积之和。以掷骰子为例，每个面出现的概率都是六分之一，期望值为三点五，这表示如果我们重复掷骰子很多次，平均结果会趋向于三点五。
方差是衡量随机变量离散程度的重要指标。它等于随机变量与其期望值之差的平方的期望。图中显示了两个具有相同期望值但不同方差的正态分布。蓝色曲线方差较小，数据更集中在期望值附近；红色曲线方差较大，数据更分散。标准差是方差的平方根，具有与原数据相同的量纲。
协方差用来衡量两个随机变量之间线性关系的强度和方向。当协方差为正时，表示两个变量倾向于同方向变化，如图中蓝色点所示。当协方差为负时，表示两个变量倾向于反方向变化，如红色点所示。协方差接近零时，表示两个变量之间没有明显的线性关系。
期望、方差和协方差是概率论中相互关联的重要概念。期望描述随机变量的中心位置，方差描述其离散程度，协方差则描述两个变量间的线性关系。值得注意的是，方差实际上是变量与自身的协方差。相关系数是标准化的协方差，取值在负一到正一之间。这些概念在统计学、金融风险评估、机器学习等领域都有广泛应用。