帮我用中文解答这三个题目，---**Problem 17** (15分)
**Question Stem:**
如图所示的四棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥ 平面 ABCD, BC || AD, AB ⊥ AD.
**Diagram Description:**
- Type: 3D geometric figure, a tetrahedron (pyramid with a quadrilateral base).
- Main Elements:
- Vertices: P (apex), A, B, C, D (base).
- Edges: PA, PB, PC, PD, AB, BC, CD, AD. Edges PA, PB, PC, PD are lines connecting the apex P to the base vertices. Edges AB, BC, CD, AD form the base quadrilateral.
- Lines: PA is shown as a line segment from P perpendicular to the base plane at A. Lines PB, PC, PD, AC are shown as dashed lines. Lines AB, BC, CD, AD are shown as solid lines.
- Relationships: PA is perpendicular to the plane ABCD. BC is parallel to AD. AB is perpendicular to AD. Visually, angle BAD appears to be a right angle.
**Sub-questions:**
(1) 证明: 平面 PAB ⊥ 平面 PAD;
(2) 若 PA = $\sqrt{2}$, AD = $\sqrt{3}$+1, BC = 2, P, B, C, D 在同一个球面上, 该球面的球心为 O.
(i) 证明: O 在平面 ABCD 上;
(ii) 求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值.
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**Problem 18** (17分)
**Question Stem:**
已知椭圆 C: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$, 下顶点为 A, 右顶点为 B, $|AB|=\sqrt{10}$.
**Sub-questions:**
(1) 求 C 的方程;
(2) 已知动点 P 不在 y 轴上, 点 R 在射线 AP 上, 且满足 $|\vec{AP}| \cdot |\vec{AR}| = 3$.
(i) 设 P(m,n), 求 R 的坐标 (用 m,n 表示);
(ii) 设 O 为坐标原点, Q 是 C 上的动点, 直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍, 求 $|PQ|$ 的最大值.
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**Problem 19** (17分)
**Sub-questions:**
(1) 求函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值;
(2) 给定 $\theta \in (0, \pi)$ 和 $a \in \mathbb{R}$, 证明: 存在 $y \in [a-\theta, a+\theta]$ 使得 $\cos y \le \cos \theta$;
(3) 设 $b \in \mathbb{R}$, 若存在 $\varphi \in \mathbb{R}$ 使得 $5\cos x - \cos(5x+\varphi) \le b$ 对一切 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立, 求 b 的最小值.