视频字幕
函数求导是微积分的核心概念之一。导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，几何上表示为函数图像在该点的切线斜率。例如，对于函数f(x)等于二分之一x平方加二分之一，在点P处的导数就是通过该点的切线斜率。
导数的严格定义基于极限概念。f撇x等于当h趋近于0时，f(x+h)减去f(x)除以h的极限。几何上，这表示割线斜率当两点无限接近时的极限值，即切线斜率。让我们看看当h逐渐减小时，割线如何逼近切线。
基本求导法则是计算导数的重要工具。常数的导数为零；幂函数x的n次方的导数是n乘以x的n减1次方；常数倍法则说明常数可以提到导数符号外面；和差法则表明和或差的导数等于导数的和或差；乘积法则用于两个函数乘积的求导；商法则用于两个函数商的求导。例如，对于函数f(x)等于3x平方加2x减5，应用这些法则可得f撇x等于6x加2。
链式法则是处理复合函数求导的重要工具。当我们有一个函数f(g(x))时，其导数等于外函数f在内函数g(x)处的导数乘以内函数g的导数。例如，对于y等于(2x+1)的三次方，我们设内函数g(x)等于2x+1，外函数f(u)等于u的三次方。应用链式法则，导数为3倍(2x+1)的平方乘以2，即6倍(2x+1)的平方。图中显示了内函数、复合函数及其在某点的切线。
导数在实际应用中具有重要意义。它可以帮助我们求函数的极值点、分析函数的单调性、解决优化问题等。在物理学中，位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度。当导数为零时，函数可能达到极值。图中显示了一个三次函数，在x等于0和x等于2处导数为零，分别对应极大值和极小值点。通过导数分析，我们能够深入理解函数的性质和变化规律。