根据图片内容，生成视频---模型示例 (Model Examples) 典例1 (Example 1) * Question Stem: 如图, 已知点 C 在线段 AB 上, 线段 AC=10 cm, BC=6 cm, 动点 P, Q 分别从 A, B 同时出发, 点 P 以 2 cm/s 的速度沿 AB 向右运动, 终点为 B, 点 Q 以 1 cm/s 的速度沿 AB 向左运动, 终点为 A. 当一个点到达终点时, 另一个点也随之停止运动. 设运动时间为 t s. 当 t = 时, C, P, Q 三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点. * Chart/Diagram Description: * Type: Line segment diagram. * Main Elements: * Line segment AB. * Point C is on AB, between A and B. * Points A, C, B are ordered from left to right. * Labels: A, C, B. * Distances: AC = 10 cm, BC = 6 cm. The total length AB = AC + BC = 10 + 6 = 16 cm. * Arrows: An arrow indicates point P moving from A towards B (right). An arrow indicates point Q moving from B towards A (left). * Solution Explanation (思路详解): * 已知条件: AC=10 cm, BC=6 cm. 动点 P: A→B, 2 cm/s. 动点 Q: B→A, 1 cm/s. * 模型套用: 双动点在线上运动, 套用动点在线上运动模型. * 结论运用: C, P, Q 三点中有一点恰好是另两点连线的中点, 需要分类讨论. * 讨论三者的位置关系, 共计 6 种情况, 从左到右依次为: P—C—Q, P—Q—C (含), C—P—Q, C—Q—P, Q—P—C (含), Q—C—P. * ① 当 $0 \le t < 5$ 时, C 是线段 PQ 的中点, 则 $10-2t = \frac{(2t) + (10+6-t)}{2}$, 解得 $t=4$. * ② 当 $5 \le t < \frac{16}{3}$ 时, P 为线段 CQ 的中点, 则 $2t - 10 = \frac{(10+6-t) - 2t}{2}$, 解得 $t=\frac{26}{5}$. * ③ 当 $\frac{16}{3} \le t < 6$ 时, Q 为线段 PC 的中点, 则 $6-t = \frac{(2t) - (6-t)}{2}$, 解得 $t=\frac{11}{2}$. * ④ 当 $6 \le t \le 8$ 时, C 为线段 PQ 的中点, 则 $2t - 10 = \frac{(2t) + (t-6)}{2}$, 解得 $t=4$ (舍). * (当 $t=5$ 或 $\frac{16}{3}$ 或 6 时, C, P, Q 三点中有两点重合, 不符合题意, 不用讨论) * 综上所述, 当 $t=4$ 或 $\frac{26}{5}$ 或 $\frac{11}{2}$ 时, C, P, Q 三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点. * 答案: $4$ 或 $\frac{26}{5}$ 或 $\frac{11}{2}$. 典例2 (Example 2) * Question Stem: 如图, 已知∠AOB=120°, 射线 OP 从 OA 位置出发, 以每秒 2°的速度绕点 O 顺时针方向旋转, 与此同时, 射线 OQ 从 OB 位置出发, 以每秒 6°的速度绕点 O 逆时针方向旋转, 当射线 OQ 到达 OA 后, 两条射线同时停止运动. 设旋转时间为 t 秒, 当 t= 时, ∠POQ=40°. * Chart/Diagram Description: * Type: Angle diagram. * Main Elements: * Point O as the vertex. * Rays OA and OB forming angle ∠AOB. * Angle value: ∠AOB = 120°. * Ray OP originating from OA, rotating clockwise around O. Point P is shown on the ray. * Ray OQ originating from OB, rotating counterclockwise around O. Point Q is shown on the ray. * Solution Explanation: No solution or explanation is provided in the image for this example.

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这是一个典型的动点运动问题。在线段AB上，点C将线段分为两部分：AC等于10厘米，BC等于6厘米。动点P从A点出发，以每秒2厘米的速度向右运动；动点Q从B点出发，以每秒1厘米的速度向左运动。我们需要找出当C、P、Q三点中有一点恰好是另两点连线中点时的时间。为了更好地分析这个问题，我们建立一个坐标系统。以A点为原点，向右为正方向。AB的总长度是16厘米，C点位于距离A点10厘米的位置。在t秒后，P点的位置是2t厘米，Q点的位置是16减t厘米。让我们观察这两个点的运动过程。这是一个双动点在线段上运动的经典问题。已知点C在线段AB上，AC等于10厘米，BC等于6厘米，所以AB总长度为16厘米。动点P从A出发以每秒2厘米的速度向右运动，动点Q从B出发以每秒1厘米的速度向左运动。我们需要求出当C、P、Q三点中有一点恰好是另两点连线的中点时的运动时间。首先建立坐标系。以A为原点，AB方向为正方向，则A的坐标为0，C的坐标为10，B的坐标为16。经过t秒后，P点的位置为2t，Q点的位置为16减t。由于P到达B需要8秒，Q到达A也需要16秒，所以运动时间的范围是0到8秒。现在我们分析第一种情况：当C是线段PQ的中点时。根据中点的定义，C的坐标应该等于P和Q坐标的平均值。建立方程：10等于2t加16减t的和除以2，化简得到t等于4。当t等于4秒时，P点位于8厘米处，Q点位于12厘米处，C点恰好是它们的中点。接下来分析其他情况。情况二：当P是CQ的中点时，建立方程2t等于10加16减t的和除以2，解得t等于26除以5，即5.2秒。情况三：当Q是PC的中点时，建立方程16减t等于2t加10的和除以2，解得t等于11除以2，即5.5秒。情况四：当t大于等于6时，C又可能成为PQ的中点，但解得的t等于4不在此范围内，所以舍去。综合所有情况的分析，我们得到满足条件的时间t有三个值：t等于4秒、t等于26除以5即5.2秒、以及t等于11除以2即5.5秒。因此，最终答案是4或26除以5或11除以2。这种双动点问题的关键是要分情况讨论，根据点的相对位置建立不同的方程。现在分析第二种情况：当P是线段CQ的中点时。根据中点的定义，P的坐标应该等于C和Q坐标的平均值。建立方程：2t等于10加16减t的和除以2，化简得到5t等于26，所以t等于26除以5，即5.2秒。当t等于5.2秒时，P点位于10.4厘米处，Q点位于10.8厘米处，P点恰好是CQ的中点。通过分类讨论，我们完成了所有情况的分析。情况一：当C是PQ的中点时，t等于4秒。情况二：当P是CQ的中点时，t等于26除以5，即5.2秒。情况三：当Q是PC的中点时，t等于11除以2，即5.5秒。因此，最终答案是t等于4或26除以5或11除以2。这类双动点问题的关键在于根据点的相对位置进行分类讨论，建立相应的中点方程求解。

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