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四元数是一种扩展了复数的数学概念，由爱尔兰数学家威廉·哈密顿于1843年发明。四元数的一般形式为 q 等于 w 加 x i 加 y j 加 z k，其中 w、x、y、z 是实数，i、j、k 是虚数单位。w 称为标量部分，x i 加 y j 加 z k 称为向量部分。虚数单位遵循特定的乘法规则：i 的平方等于 j 的平方等于 k 的平方等于负1，i j 等于 k，j k 等于 i，k i 等于 j，而 j i 等于负 k，k j 等于负 i，i k 等于负 j。注意四元数的乘法不满足交换律。
四元数的基本运算包括加法、减法、乘法、共轭、模长和逆运算。加法和减法很简单，就是对应分量相加减。乘法是哈密顿乘积，需要展开并应用虚数单位的乘法规则，注意不满足交换律。共轭运算是改变向量部分的符号，即 q 的共轭等于 w 减 x i 减 y j 减 z k。模长是四元数到原点的距离，等于各分量平方和的平方根。逆运算满足 q 乘以 q 的逆等于1，计算公式是 q 的共轭除以 q 的模长的平方。对于单位四元数，模长为1，其逆等于其共轭。
四元数最重要的应用是表示三维空间中的旋转。一个单位四元数可以表示绕着某个轴的旋转，公式为 q 等于 cos θ/2 加 sin θ/2 乘以 x i 加 y j 加 z k，其中 θ 是旋转角度，x、y、z 是单位旋转轴向量的分量。要旋转一个向量 v，使用公式 v' 等于 q 乘以 v 乘以 q 的逆。例如，绕 Z 轴旋转90度时，θ 等于 π/2，旋转轴是 (0,0,1)，得到的四元数是 √2/2 加 √2/2 乘以 k。四元数表示旋转的优势包括：避免万向锁问题、紧凑表示只需4个数、以及支持平滑插值等。
四元数乘法是哈密顿乘积，是最复杂的运算。设有两个四元数 q1 和 q2，它们的乘积需要展开所有项并应用虚数单位的乘法规则。结果的各分量公式为：w 分量等于 w1w2 减 x1x2 减 y1y2 减 z1z2；x 分量等于 w1x2 加 x1w2 加 y1z2 减 z1y2；y 分量等于 w1y2 减 x1z2 加 y1w2 加 z1x2；z 分量等于 w1z2 加 x1y2 减 y1x2 加 z1w2。例如，q1 等于 1 加 2i 加 k，q2 等于 i 加 j，计算得到 q1q2 等于 负3 加 i 加 j 加 3k。重要的是，四元数乘法不满足交换律。
四元数是数学中的一个重要概念，它是实数系的扩展。从实数到复数，再到四元数，每一步都扩展了我们对数的理解。四元数由爱尔兰数学家哈密顿在1843年发现，表示为 q = w + xi + yj + zk 的形式。它包含四个分量：一个实部w和三个虚部xi、yj、zk。四元数的基本单位满足 i的平方等于j的平方等于k的平方等于ijk等于负1。四元数主要用于表示三维空间中的旋转，是现代计算机图形学和机器人学的重要工具。
四元数支持多种数学运算。加法和减法很简单，就是对应分量相加或相减。乘法运算比较复杂，需要使用分配律和四元数基的乘法关系。四元数的共轭是将虚部的符号改变，而模长的计算类似于复数，是所有分量平方和的平方根。单位四元数是模长为1的四元数，它们在表示旋转时特别重要，因为它们保持旋转的性质而不改变物体的大小。
四元数在表示三维旋转方面具有独特的优势。单位四元数与三维旋转之间存在一一对应关系。要用四元数表示旋转，我们使用公式：q等于cos(θ/2)加上sin(θ/2)乘以旋转轴向量，其中θ是旋转角度，(x,y,z)是单位旋转轴向量。例如，绕Z轴旋转90度的四元数是cos(45°)加上sin(45°)乘以k，结果是根号2除以2加上根号2除以2乘以k。与欧拉角相比，四元数避免了万向锁问题，并且在旋转插值时更加平滑。
从几何角度看，四元数可以理解为四维空间中的点。单位四元数满足w²+x²+y²+z²=1，形成四维单位球面。这个球面上的每个点都对应一个三维旋转。有趣的是，四元数q和-q表示相同的旋转，这被称为对映点性质。球面线性插值SLERP可以在两个旋转之间产生平滑的过渡。旋转的复合通过四元数乘法实现，总旋转等于q2乘以q1。需要注意的是，四元数乘法不满足交换律，所以顺序很重要。
四元数在现代科技中有广泛应用。在计算机图形学中用于3D旋转和相机控制，在游戏开发中处理角色动画和物体旋转，在机器人学中控制关节运动和姿态，在航空航天领域控制飞行器姿态，在虚拟现实和增强现实中进行头部追踪，在物理仿真中模拟刚体旋转。四元数的主要优势包括：避免万向锁问题、紧凑表示只需4个数、高效的旋转组合、平滑插值和良好的数值稳定性。缺点是直观性较差、乘法不满足交换律、学习曲线较陡。总的来说，四元数是表示三维旋转的强大工具，在需要精确和稳定处理旋转的领域是首选的数学方法。