视频字幕
我们来解这个一阶线性微分方程。首先识别方程的形式，这是一个标准的一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)等于1，Q(x)等于x。
对于一阶线性微分方程，我们使用积分因子方法。积分因子μ(x)等于e的P(x)积分次方。在这里，P(x)等于1，所以积分因子μ(x)等于e的x次方。
现在我们需要计算积分。将积分因子代入通解公式，得到y等于e的负x次方乘以xe的x次方的积分。使用分部积分法，设u等于x，dv等于e的x次方dx，可以得到xe的x次方减去e的x次方加常数C。
最后，我们将结果代入通解公式。y等于e的负x次方乘以刚才求得的积分结果。化简后得到最终的通解：y等于x减1加上C乘以e的负x次方，其中C是任意常数。这就是微分方程y撇加y等于x的通解。
对于一阶线性微分方程，我们使用积分因子方法。积分因子μ(x)等于e的P(x)积分次方。在这里，P(x)等于1，所以积分因子μ(x)等于e的x次方。
现在我们需要计算积分。将积分因子代入通解公式，得到y等于e的负x次方乘以xe的x次方的积分。使用分部积分法，设u等于x，dv等于e的x次方dx，可以得到xe的x次方减去e的x次方加常数C。
最后，我们将结果代入通解公式。y等于e的负x次方乘以刚才求得的积分结果。化简后得到最终的通解：y等于x减1加上C乘以e的负x次方，其中C是任意常数。这就是微分方程y撇加y等于x的通解。
我们可以验证这个解的正确性。将通解y等于x减1加Ce的负x次方代入原方程，可以确认它确实满足微分方程。图像显示了特解y等于x减1以及不同常数C值对应的通解族。所有解都具有相同的渐近行为。