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三角形是几何学中最基本的图形之一，它包含许多重要的点。今天我们要介绍的是三角形的九个重要点，这些点构成了著名的九点圆。九点圆是三角形几何中的一个重要概念，它将三角形的九个特殊点连接在一个圆上。
九点圆的第一类点是三角形三条边的中点。每条边的中点将该边平分成两个相等的部分。我们用M下标AB表示AB边的中点，M下标BC表示BC边的中点，M下标CA表示CA边的中点。这三个中点是九点圆上最基础也是最容易理解的三个点。
九点圆的第二类点是三角形三条高的垂足。高是从三角形的顶点向对边作的垂线，垂足是高与对边的交点。从顶点A向BC边作垂线，垂足记为H下标A；从顶点B向AC边作垂线，垂足记为H下标B；从顶点C向AB边作垂线，垂足记为H下标C。这三个垂足同样位于九点圆上。
九点圆的第三类点是连接三角形顶点与垂心的线段的中点。垂心H是三角形三条高的交点。连接顶点A与垂心H，其中点记为N下标A；连接顶点B与垂心H，其中点记为N下标B；连接顶点C与垂心H，其中点记为N下标C。至此，我们得到了九点圆上的全部九个点：三边中点、三条高的垂足、以及顶点与垂心连线的中点。
现在我们看到了三角形九点圆的完整图像。红色的点是三边的中点，橙色的点是三条高的垂足，绿色的点是顶点与垂心连线的中点。这九个点神奇地都位于同一个圆上，这就是著名的九点圆。九点圆是三角形几何中的一个重要定理，展现了三角形内在的美妙几何关系。这个发现对几何学的发展具有重要意义。