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今天我们来学习如何计算两个著名的定积分：菲涅耳积分。第一个积分是从零到无穷大的正弦x平方dx，第二个积分是从零到无穷大的余弦x平方dx。这两个积分在光学和物理学中有重要应用，特别是在菲涅耳衍射理论中。令人惊讶的是，这两个积分的值相等，都等于根号π除以2倍根号2。
要计算菲涅耳积分，我们使用复变函数方法。首先选择复变函数f(z)等于e的负z平方次方，这个函数在整个复平面上都是解析的。然后我们在复平面的第一象限构造一个扇形围道，包含三段：C1是从原点到R的实轴段，C2是半径为R的圆弧段，C3是从Re的i四分之π次方回到原点的直线段。根据柯西积分定理，沿这个闭合围道的积分等于零。
现在我们来计算围道上各段的积分。根据柯西积分定理，沿闭合围道C的积分等于零，即C1段加C2段加C3段的积分之和为零。当R趋于无穷时，C1段的积分是著名的高斯积分，等于根号π除以2。C2段的积分由于指数函数的快速衰减而趋于零。C3段的积分经过参数替换后，等于负e的i四分之π次方乘以从零到无穷大的e的负ir平方次方的积分。
现在我们将前面得到的结果代入柯西积分定理的等式中。根号π除以2加上0减去e的i四分之π次方乘以积分等于零。因此，从零到无穷大的e的负ir平方次方的积分等于根号π除以2乘以e的负i四分之π次方。接下来利用欧拉公式分离实部和虚部。e的负ir平方次方等于余弦r平方减去i乘以正弦r平方，而e的负i四分之π次方等于根号2除以2减去i乘以根号2除以2。
最后，我们比较等式两边的实部和虚部。实部给出从零到无穷大的余弦r平方dr等于根号2π除以4，虚部给出负的从零到无穷大的正弦r平方dr等于负根号2π除以4。因此，两个菲涅耳积分的值都等于根号π除以2倍根号2。这个美妙的结果展示了复变函数方法在计算困难积分中的强大威力，也揭示了这两个看似不同的积分之间的深刻联系。