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连续时间马尔科夫链的转移概率函数是描述系统状态转移的核心概念。转移概率函数 P_ij(t) 定义为在时间 t 时刻，系统从状态 i 转移到状态 j 的概率。这个函数刻画了系统随时间演化的规律。
转移概率函数具有三个基本性质。首先是非负性，所有转移概率都大于等于零。其次是归一性，从任何状态出发的所有转移概率之和等于一。最后是初始条件，在时间零时刻，系统保持在原状态的概率为一，转移到其他状态的概率为零。
Chapman-Kolmogorov方程是连续时间马尔科夫链的核心性质。该方程表明，从状态i到状态j经过时间t加s的转移概率，等于所有可能中间状态k的转移概率乘积的和。这体现了马尔科夫链的半群性质和无记忆性。
Kolmogorov方程描述了转移概率函数随时间的变化规律。前向方程和后向方程都涉及生成矩阵Q，它包含了状态间的转移速率。转移概率矩阵的解可以用矩阵指数形式表示，这为计算转移概率提供了理论基础。
转移概率函数在实际应用中具有重要价值。它被广泛应用于排队论、可靠性工程、生物种群动态、金融风险建模和通信网络优化等领域。通过分析转移概率随时间的变化，我们可以预测系统的长期行为和稳态分布。