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我们来解决一个关于等腰三角形中线的问题。题目说在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为12和6两部分，要求该等腰三角形的腰长及底边长。首先我们画出等腰三角形ABC，其中AB等于AC等于a，底边BC等于b。从顶点C向腰AB作中线CM，M是AB的中点。
现在我们来分析中线是如何分割周长的。设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，那么三角形的周长就是2a加b。中线CM将腰AB分为两段，每段长度为a的一半。这样，中线就将三角形的周长分为两部分：第一部分是AC加AM，等于a加二分之a，也就是二分之三a；第二部分是BC加BM，等于b加二分之a。
根据题意，中线将周长分为12和6两部分，我们需要建立方程组来求解。有两种可能的情况：情况1是二分之三a等于12，b加二分之a等于6；情况2是二分之三a等于6，b加二分之a等于12。我们先解情况1：由二分之三a等于12得到3a等于24，所以a等于8。将a等于8代入第二个方程，得到b加4等于6，所以b等于2。我们检验一下：8加8大于2，满足三角形三边关系。
现在我们来验证情况2。由二分之三a等于6得到3a等于12，所以a等于4。将a等于4代入第二个方程，得到b加2等于12，所以b等于10。我们检验三角形三边关系：边长为4、4、10。但是4加4等于8，8小于10，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，所以情况2不成立。因此，只有情况1的解是有效的。综上所述，该等腰三角形的腰长为8，底边长为2。
让我们最后验证一下答案的正确性。根据我们的计算，等腰三角形的腰长为8，底边长为2。我们来验证：三角形的周长等于8加8加2等于18。中线分割的第一部分长度为二分之三乘以8等于12，第二部分长度为2加二分之八等于6。12加6确实等于18，符合题意。同时，三边关系8加8大于2也成立。因此，我们的答案是正确的：腰长为8，底边长为2。