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三角函数是数学中描述角度与边长关系的重要工具。它最初定义在直角三角形中，通过角度θ与三边的比值关系来建立函数。在这个直角三角形中，我们有角θ、对边b、邻边a和斜边c。
基本的三角函数包括正弦、余弦和正切。正弦函数定义为对边除以斜边，余弦函数定义为邻边除以斜边，正切函数定义为对边除以邻边。这三个比值只依赖于角度的大小，而不依赖于三角形的具体尺寸，这就是三角函数的核心特性。
为了定义任意角度的三角函数，我们引入单位圆的概念。在单位圆中，角θ从x轴正半轴开始逆时针旋转，其终边与单位圆的交点坐标就定义了该角的三角函数值。点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。这样我们就可以定义大于九十度甚至负角的三角函数了。
三角函数的图像直观地展示了它们的周期性质。正弦函数图像呈现波浪形，从零开始上升，在π/2处达到最大值1，在π处回到零，在3π/2处达到最小值负1，最后在2π回到零。余弦函数图像与正弦类似，但相位提前π/2。这两个函数都是周期为2π的周期函数，在物理和工程中广泛用于描述波动和振动现象。
三角函数在现实世界中有着极其广泛的应用。在几何学中，它们帮助我们计算三角形的边长和角度。在物理学中，正弦和余弦函数用来描述波动、振动和周期性运动。在工程学中，三角函数是信号处理和控制系统的基础。在天文学中，它们用于计算天体的位置和运动轨迹。可以说，三角函数是连接几何与代数的重要桥梁，是现代科学技术不可缺少的数学工具。