视频字幕
导数和微分是微积分中两个重要概念。导数描述函数在某点的瞬时变化率，也就是切线的斜率。微分则描述当自变量有微小变化dx时，函数值的近似变化量dy。图中红色切线的斜率就是导数，橙色线段dy是微分，紫色线段是实际变化量。
导数的严格定义是一个极限过程。当Δx趋近于0时，割线斜率的极限就是切线斜率，也就是导数。图中绿色割线会逐渐接近红色切线，割线斜率趋向于导数值。这个过程体现了导数作为瞬时变化率的本质。
微分dy等于导数乘以自变量的微分dx。几何上，dy是沿切线方向的变化量，而Δy是沿曲线的实际变化量。当dx很小时，dy能很好地近似Δy。图中橙色线段dy是微分，紫色线段Δy是实际变化量，可以看出两者非常接近。
导数和微分有着密切的关系。导数f'(x)等于dy除以dx，可以理解为微分的商。反过来，微分dy等于导数乘以dx，是导数与自变量微分的积。记号dy/dx既表示导数，也暗示了它是两个微分的比值。导数描述变化率，微分描述变化量，两者从不同角度刻画函数的局部性质。
总结一下，导数和微分虽然密切相关但概念不同。导数描述函数的瞬时变化率，是一个"率"的概念，几何上表示切线斜率。微分描述函数的微小变化量，是一个"量"的概念，用于近似计算。两者通过公式dy等于f'(x)乘以dx相联系。导数主要用于求极值和优化问题，微分则常用于近似计算和误差分析。理解这两个概念的区别和联系，对掌握微积分非常重要。