解答并详细说明分析过程---**Extracted Content:** 1. 设 $f(x) = 1 - x^2 + x^3$ ($x \in [0, 1]$), 计算以下极限并说明理由: $\lim_{n\to\infty} \frac{\int_0^1 f^n(x) \ln(x+2) dx}{\int_0^1 [f(x)]^n dx}$.

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我们需要分析函数 f(x) = 1 - x² + x³ 在区间 [0,1] 上的性质。首先计算端点值：f(0) = 1，f(1) = 1。然后求导数 f'(x) = -2x + 3x²，找到临界点 x = 2/3，此时 f(2/3) = 23/27。可以看出函数在端点处取得最大值1。 根据 Laplace 方法，当 n 趋于无穷时，积分的主要贡献来自函数取最大值的点。我们可以看到，随着指数 n 的增大，函数的 n 次幂在非最大值点处迅速衰减到零，而在最大值点附近保持较大的值。这种集中效应使得积分的行为主要由最大值点决定。 我们需要分析函数在两个最大值点附近的局部行为。在 x=0 附近，函数可以近似为 1 减 x 的平方，这是二次下降。在 x=1 附近，函数可以近似为 1 减括号 1 减 x，这是线性下降。二次下降比线性下降更慢，因此 x=0 附近的贡献将在极限中占主导地位。 通过比较两个最大值点附近的积分贡献，我们发现在 x=0 附近的贡献阶数为 1 除以根号 n，而在 x=1 附近的贡献阶数为 1 除以 n。当 n 趋于无穷时，1 除以根号 n 比 1 除以 n 下降得更慢，因此 x=0 附近的贡献占主导地位。 根据 Laplace 方法的结论，当积分由某个点附近的贡献主导时，极限等于被积函数在该点的值。在我们的问题中，主导点是 x=0，被积函数 g(x) 等于 ln(x+2)。因此，极限值等于 g(0) = ln(0+2) = ln(2)。这就是我们要求的最终答案。