视频字幕
这是一个关于矩形旋转体积的几何问题。我们有一个长为L、宽为W的矩形，对角线将其分成两个全等的直角三角形。当绕矩形的一边旋转时，形成两个立体图形Va和Vb，已知它们的体积比为2比1。现在我们需要分析当分割线改变位置后，新的体积比是多少。
首先分析初始状态。设矩形长为L，宽为W。对角线将矩形分成两个全等的直角三角形。当绕宽为W的边旋转时，靠近旋转轴的三角形形成一个圆锥，体积为三分之一πL²W。远离旋转轴的部分通过圆柱减去圆锥得到，体积为三分之二πL²W。因此体积比为2比1，这与题目条件相符。
现在确定新的分割线位置。分割线通过矩形中心点，一端在边上距离角点四分之一边长处。设矩形顶点为A、B、C、D，中心为L/2, W/2。端点P在边AD上，坐标为0, W/4。利用中点公式，可以求出另一端点Q的坐标为L, 3W/4。因此新分割线的方程为y等于W/2L乘以x加上W/4。
现在计算新分割后的体积。使用柱壳法，对于区域1，积分得到体积V1等于十二分之七πWL²。对于区域2，积分得到体积V2等于十二分之五πWL²。验证总体积等于πWL²，符合圆柱体积。因此新的体积比V1比V2等于7比5。
总结这个问题的解答过程。初始状态下，对角线将矩形分成两部分，旋转后体积比为2比1。在新状态下，分割线通过中心点且一端距角点四分之一边长处，通过柱壳法计算得到新的体积比为7比5。因此，答案是7比5。