问 f(x) 是否在 x=0 处可导？若可导，求导数值；若不可导，说明理由。---$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ Extraction: Function Definition: f(x) is defined piecewise as: - x^2 * sin(1/x) for x not equal to 0 - 0 for x equal to 0

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我们需要判断这个分段函数在x等于0处是否可导。函数在x不等于0时定义为x的平方乘以sin(1/x)，在x等于0时定义为0。从图像可以看出，函数在原点附近振荡但被x平方项约束。 要判断函数在x等于0处是否可导，我们使用导数的定义。根据定义，f在0处的导数等于当h趋于0时，f(h)减去f(0)除以h的极限。由于f(0)等于0，当h不等于0时，f(h)等于h的平方乘以sin(1/h)。因此差商简化为h乘以sin(1/h)。我们需要计算这个表达式当h趋于0时的极限。 现在我们使用夹逼定理来计算这个极限。由于正弦函数的值域在负1到1之间，我们有负1小于等于sin(1/h)小于等于1。将不等式两边乘以h的绝对值，得到负|h|小于等于h乘以sin(1/h)小于等于|h|。当h趋于0时，上下界都趋于0，根据夹逼定理，极限值为0。图像显示了函数被两条直线夹逼的情况。 综合前面的分析，我们得出最终结论：函数f(x)在x等于0处可导，导数值为0。这是因为虽然sin(1/x)在x等于0附近剧烈振荡，但被x的平方项有效控制。在原点处，函数的切线是水平线y等于0，斜率为0。这个例子展示了如何通过导数定义和夹逼定理来处理复杂的可导性问题。 让我们总结一下分段函数可导性判断的一般方法。首先检查函数在分段点的连续性，然后使用导数定义计算左右极限，必要时应用夹逼定理等极限方法，最后判断极限是否存在。在这个问题中，关键是认识到x的平方项对振荡函数的控制作用。因此，我们的最终答案是：函数f(x)在x等于0处可导，导数值为0。