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今天我们要证明一个有趣的数论问题。设正整数a和b满足ab+1可以整除a²+b²，我们需要证明商(a²+b²)/(ab+1)是某个整数的平方。设这个商为k，那么我们有等式a²+b²等于k乘以ab+1。例如，当a=1，b=1时，k等于2除以2等于1，确实是1的平方。
我们采用反证法来证明这个结论。假设存在一个正整数k，它不是完全平方数，但方程x²+y²=k(xy+1)存在正整数解。在所有满足这个方程的正整数解中，我们选取一个使得x+y最小的解，记为(a,b)。不失一般性，我们可以假设a小于等于b。这个最小性条件将是我们推导矛盾的关键。
首先考虑a等于b的情况。当a等于b时，方程变为2a²等于k乘以a²加1。因此k等于2a²除以a²加1。由于k是整数，a²加1必须整除2a²。注意到2a²可以写成2倍的a²加1再减去2，所以a²加1必须整除2。由于a是正整数，a²加1至少等于2，唯一的可能是a²加1等于2，即a等于1。此时k等于1，这是完全平方数。
现在考虑a小于b的情况。我们构造关于y的二次方程：y²减去ka乘以y加上a²减去k等于0。已知一个根是y₁等于b。设另一个根为y₂。根据韦达定理，两根之和等于ka，所以y₂等于ka减去b。同时，两根之积等于a²减去k，所以y₂也等于a²减去k除以b。如果y₂是正整数且小于b，那么(a,y₂)也是一个解，且a加y₂小于a加b，这与我们选择的最小性矛盾。
通过前面的分析，我们可以完成证明。对于最小解(a,b)，当a等于b时，k等于1，这是完全平方数。当a小于b时，为了避免矛盾，唯一的可能是y₂等于0。如果y₂等于0，那么a²减去k等于0，即k等于a²，这意味着k是完全平方数。这与我们假设k不是完全平方数产生矛盾。因此原假设错误，k必须是完全平方数。证明完毕。