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这是一道关于抛物线焦弦的经典问题。题目给出抛物线的焦距是10，一条直线穿过焦点O与抛物线交于A、B两点，我们需要求AO加BO的最小值。让我们先建立抛物线的图像来理解这个问题。
首先我们需要理解抛物线的基本概念。抛物线的标准方程是y的平方等于2px，其中p是焦距参数。焦点坐标为F(p/2, 0)。题目告诉我们焦距是10，所以p等于10，焦点位置就是F(5, 0)。抛物线还有一条准线，位置在x等于负5。
现在我们来学习焦弦长度公式。焦弦是指过焦点的弦，其长度公式为L等于2p除以sin平方θ，其中θ是焦弦与对称轴的夹角。当θ等于90度时，sin平方θ达到最大值1，此时焦弦长度最短，这条特殊的焦弦称为通径。代入p等于10，可得最小长度为20。
现在我们来求解最小值。根据焦弦长度公式L等于2p除以sin平方θ，要使L最小，需要sin平方θ最大。sin平方θ的最大值为1，当θ等于90度时取得。因此最小长度为2p。代入p等于10，得到AO加BO的最小值为20。
让我重新分析这道题。题目答案给出的是40，这说明我们对焦距的理解可能有误。如果题目中的焦距指的是焦点到顶点的距离为10，那么p等于20。此时焦弦的最小长度为2p等于40，这与题目答案一致。因此，当焦弦垂直于对称轴时，AO加BO达到最小值40。