这道题如何解答---设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$, $\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$. (1) 证明: $\{na_n\}$ 为等差数列: (2) 设 $f(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m$, 求 $f'(-2)$.

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这是一道关于数列递推关系的综合题目。给定数列 aₙ 满足初始条件 a₁ 等于 3，以及一个特定的递推关系式。我们需要证明 naₙ 构成等差数列，并求出函数 f 在负2处的导数值。让我们先理解题目的结构和要求。 现在我们来证明第一部分。从给定的递推关系开始，将等式两边同时乘以 n 乘以 n 加 1，得到 n 加 1 倍的 a_{n+1} 等于 n 倍的 a_n 加 1。设 b_n 等于 n 倍的 a_n，那么递推关系变为 b_{n+1} 等于 b_n 加 1，即相邻两项的差为常数 1，这正是等差数列的定义。 既然证明了 naₙ 是等差数列，我们来求出它的通项公式。首项 b₁ 等于 1 倍的 a₁ 等于 3，公差 d 等于 1。根据等差数列通项公式，b_n 等于 3 加上 n 减 1，化简得 b_n 等于 n 加 2。由于 b_n 等于 naₙ，所以 naₙ 等于 n 加 2，从而得到 aₙ 的通项公式。 现在我们来解决第二部分。函数 f(x) 是关于 aₙ 的幂级数，对其求导得到 f'(x)。将 x 等于负2代入，得到 f'(-2) 等于 naₙ 乘以负2的 n-1 次方的求和。利用前面得到的 naₙ 等于 n 加 2，我们需要计算这个特殊的级数和。 使用错位相减法来计算这个级数和。设 r 等于负2，将 S 乘以 r 得到 rS，然后用 S 减去 rS。经过等比数列求和公式的计算，最终化简得到 S 等于 7 减去 3m 加 7 倍的负2的m次方，再除以9。因此，f'(-2) 的最终答案是这个表达式。