勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，是几何学中最重要的定理之一。它描述了直角三角形中三边的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。用公式表示就是 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。
为了证明勾股定理，我们构造一个边长为 a 加 b 的大正方形。在这个大正方形的四个角上，各放置一个相同的直角三角形。这样安排后，中间会形成一个边长为 c 的小正方形。这种巧妙的构造为我们的证明奠定了基础。
现在我们用两种方法计算大正方形的面积。方法一：大正方形边长为 a 加 b，所以面积等于 a 加 b 的平方，展开得到 a 平方加 2ab 加 b 平方。方法二：大正方形面积等于四个三角形面积加中间正方形面积，即 4 乘以二分之一 ab 加 c 平方，等于 2ab 加 c 平方。
根据等面积原理，同一个大正方形的面积用两种方法计算应该相等。因此我们得到等式：a 平方加 2ab 加 b 平方等于 2ab 加 c 平方。从等式两边同时减去 2ab，我们得到 a 平方加 b 平方等于 c 平方。这就完成了勾股定理的证明。
勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。它可以用来计算直角三角形的未知边长，判断三角形是否为直角三角形，在建筑工程、导航定位、物理计算等领域都发挥着重要作用。例如，在这个 3-4-5 直角三角形中，我们可以验证 3 的平方加 4 的平方确实等于 5 的平方，即 9 加 16 等于 25。勾股定理作为几何学的基石，至今仍在数学和科学的各个领域发挥着重要作用。