📋 信息
💬 答案
📝 字幕
视频字幕
复制
这是一道典型的组合计数问题。题目的疑难点主要有三个：
第一，6名工人是不同的个体，这意味着将工人甲安排到A区与将工人乙安排到A区是不同的情况。
第二，A、B、C三个开发区是不同的目的地，工人去不同开发区代表不同的选择。
第三，存在"至少"的限制条件，A区至少2人，B区和C区至少各1人，这些限制使得直接计算变得复杂。
解这道题我们使用容斥原理。
首先计算全集：如果没有任何限制，6个工人可以任意分配到3个区，每人有3种选择，总共3的6次方等于729种方法。
然后我们要减去不符合条件的情况：情况1是A区少于2人，情况2是B区为空，情况3是C区为空。
接下来我们需要逐一计算这些情况的数量。
现在我们详细计算每种情况的数量。
A区少于2人意味着A区只有0人或1人，剩下的6人或5人分配到B、C两区，共2的6次方等于64种。
B区为空意味着6人全部分配到A、C两区，共2的6次方等于64种。
C区为空同理也是64种。
接下来计算交集：A区少于2人且B区为空，意味着6人全部去C区，只有1种方法。
其他交集同理都是1种。而三个条件同时满足是不可能的，所以为0。
根据容斥原理，最终答案是729减去192加上3等于540种。等等，这个结果不在选项中，说明我们的方法有问题。
让我们用正确的分类讨论法重新解题。
我们按A区的人数进行分类，因为A区至少需要2人，所以A区可能有2人、3人或4人。
当A区有2人时，剩下4人分配给B、C两区，且都至少1人，有3种子情况。
当A区有3人时，剩下3人分配给B、C两区，且都至少1人，有2种子情况。
当A区有4人时，剩下2人分配给B、C两区，且都至少1人，只有1种子情况。
通过组合数公式逐一计算，最终答案是360种，对应选项D。
我们采用分类讨论的方法来解决这个问题。
根据题目条件，A区至少需要2人，而总共只有6人，所以A区最多能安排4人。
因此我们按A区的人数进行分类讨论：
情况1是A区安排2人，剩余4人分配到B、C两区，且每区至少1人。
情况2是A区安排3人，剩余3人分配到B、C两区，且每区至少1人。
情况3是A区安排4人，剩余2人分配到B、C两区，且每区至少1人。
这样就能确保所有约束条件都得到满足。
现在我们逐一计算每种情况的具体数量。
情况1：A区安排2人，从6人中选2人的组合数是C(6,2)等于15种。
剩余4人分配到B、C两区且每区至少1人，用2的4次方减去2等于14种方法。
所以情况1总共有15乘以14等于210种方法。
情况2：A区安排3人，组合数C(6,3)等于20种。
剩余3人分配方法是2的3次方减去2等于6种。
情况2总共有20乘以6等于120种方法。
情况3：A区安排4人，组合数C(6,4)等于15种。
剩余2人分配方法是2的2次方减去2等于2种。
情况3总共有15乘以2等于30种方法。
最终答案是210加120加30等于360种，对应选项D。
这是一道典型的组合分配问题。题目要求将6名工人分配到A、B、C三个开发区，
但有特定的约束条件：A开发区至少需要2名工人，B、C开发区至少各安排1名工人。
疑难点在于如何处理这些约束条件。关键思路是按照A开发区的人数进行分类讨论，
因为A区的约束最为严格，以此为突破口可以简化问题。
解题的关键是按A开发区的人数进行分类讨论。
由于A区至少需要2人，最多可以安排4人（因为B、C区至少各需1人），所以A区可能有2人、3人或4人。
情况一：A区安排2人。先用组合数C(6,2)等于15种方法选出2人分配到A区，
剩下4人分配到B、C区且每区至少1人，方法数为2的4次方减2等于14种，共15乘以14等于210种。
情况二：A区安排3人。C(6,3)等于20种方法选人，剩下3人分配方法为2的3次方减2等于6种，
共20乘以6等于120种。
情况三：A区安排4人。C(6,4)等于15种方法选人，剩下2人必须分别分配到B、C区，
只有2种方法，共15乘以2等于30种。
因此总的安排方法数为210加120加30等于360种。
让我们详细解析这道题用到的核心公式。
第一个是组合数公式，C(n,k)等于n的阶乘除以k的阶乘乘以n减k的阶乘。
第二个是分配公式，这是解决此类问题的关键。当n个不同物品分配到2个盒子且每个盒子至少有1个物品时，
方法数为2的n次方减2。这个公式的推导是：总的分配方法2的n次方，减去第一个盒子为空的1种情况，
再减去第二个盒子为空的1种情况，即2的n次方减2。
在本题中，我们需要计算C(6,2)等于15，C(6,3)等于20，C(6,4)等于15。
同时计算2的4次方减2等于14，2的3次方减2等于6，2的2次方减2等于2。
这些都是解题的关键数据。
最后我们来总结这道题的题型特点和解题技巧。
这是一道典型的组合计数问题，属于将不同物品分配到不同盒子且带有约束条件的类型。
核心公式包括组合数公式C(n,k)，以及n个不同物品分到2个盒子且每盒至少1个的公式2的n次方减2。
秒杀技巧有四点：
第一，识别约束条件中的关键限制，本题是A区至少2人；
第二，按关键变量分类讨论，我们按A区人数分类；
第三，熟记常用组合数，如C(6,2)等于15，C(6,3)等于20；
第四，掌握分配问题的标准模式。
通过这些技巧，我们能快速得出答案360，对应选项D。
掌握这些方法，类似的组合计数问题都能迎刃而解。
最后我们来看看同类题型的拓展练习。
这类分配问题的共同特征是：不同个体分配到不同区域，且每个区域都有最少人数要求。
变式练习包括：8名学生分到4个班级每班至少1人，可用斯特林数第二类求解；
10名员工分到3个部门且A部门至少3人，仍用分类讨论法；
5名志愿者分到3个岗位每岗位至少1人，可用容斥原理。
通用解题策略是：首先找出最严格的约束条件，以此为分类标准，
然后逐类计算并求和，最后验证答案的合理性。
回到我们的原题，答案是360，对应选项D。
掌握了这些方法和技巧，同类的组合计数问题都能轻松解决。