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三角函数是数学中的重要概念，它描述了直角三角形中角度与边长比值之间的关系。在直角三角形中，我们有角θ，以及相对于这个角的对边、邻边和斜边。三角函数将角度与实数联系起来，是解决几何问题和描述周期性现象的基础工具。
基本的三角函数包括正弦、余弦和正切。正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。我们可以用SOH CAH TOA这个口诀来记忆：Sin等于Opposite除以Hypotenuse，Cos等于Adjacent除以Hypotenuse，Tan等于Opposite除以Adjacent。
为了将三角函数应用于任意角度，我们引入单位圆的概念。单位圆是圆心在原点、半径为1的圆。对于任意角度θ，从原点出发的射线与单位圆相交于点P。这个点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。这种定义方式将三角函数从直角三角形扩展到了所有角度，包括大于90度或负角度的情况。
三角函数最重要的性质之一是周期性。正弦和余弦函数的周期都是2π，这意味着每隔2π，函数值就会重复一次。正切函数的周期是π。从图像上可以清楚地看到，正弦函数呈现波浪形，余弦函数也是如此，但相位不同。这种周期性使得三角函数成为描述波动、振动等周期性现象的重要数学工具。
三角函数之间存在许多重要的恒等式。最基本的是勾股恒等式：sin²θ + cos²θ = 1，这可以从单位圆中的直角三角形直观理解。还有正切的定义式、加法公式等。这些恒等式在几何问题求解、物理波动分析、工程测量、信号处理和天文导航等众多领域都有广泛应用，是现代科学技术的重要数学基础。