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二元函数是一种数学关系，它接受两个输入值，通常是x和y，并产生唯一的输出值z。我们将其写作z等于f括号x逗号y。与创建曲线的单变量函数不同，二元函数在三维空间中创建曲面。例如，z等于x的平方加y的平方创建一个抛物面。
二元函数的定义域是所有可能输入值对x和y的集合，而值域是所有可能输出值z的集合。例如，对于函数f括号x逗号y等于根号下4减x平方减y平方，定义域是满足x平方加y平方小于等于4的所有点，这形成一个半径为2的圆盘。值域是从0到2的所有实数。
等高线图是可视化二元函数的重要方法。每条等高线连接具有相同函数值的所有点。对于函数f括号x逗号y等于x平方加y平方，等高线是以原点为中心的同心圆。内圆对应z等于1，中圆对应z等于4，外圆对应z等于9。等高线越密集，函数变化越陡峭。
偏导数是二元函数微分学的核心概念。它描述函数在某一方向上的瞬时变化率。对x的偏导数表示固定y值时函数随x的变化率，对y的偏导数表示固定x值时函数随y的变化率。几何上，偏导数对应曲面在某点沿坐标轴方向的切线斜率。
二元函数在现实世界中有广泛应用。在物理学中，可以用来描述温度分布，如T括号x逗号y等于100减x平方减y平方表示一个热源在原点的温度场。在经济学中，生产函数描述投入与产出的关系。在工程学中，用于优化设计和信号处理。通过偏导数分析，我们可以找到函数的最值点，解决实际优化问题。