解图片题目---设双曲线 C: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2$，过 $F_2$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 C 于 A, B 两点, 若 $|F_1A| = 13, |AB| = 10$, 则 C 的离心率为____.

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这是一道关于双曲线的几何问题。题目给出双曲线方程，左右焦点为F₁和F₂，过F₂作平行于y轴的直线与双曲线相交于A、B两点。已知F₁A的距离为13，AB的距离为10，要求双曲线的离心率。 首先确定双曲线的基本参数。对于双曲线，焦点距离c满足c²等于a²加b²。左右焦点坐标分别为F₁负c逗号0和F₂c逗号0。过F₂作平行于y轴的直线，其方程为x等于c。这条直线与双曲线相交于A、B两点。 现在求交点坐标。将直线方程x等于c代入双曲线方程，得到c²除以a²减去y²除以b²等于1。整理后得到y²除以b²等于b²除以a²，因此y等于正负b²除以a。所以交点A的坐标为c逗号b²除以a，点B的坐标为c逗号负b²除以a。线段AB的长度等于2b²除以a。根据已知条件AB等于10，我们得到b²等于5a。 接下来利用双曲线的定义。对于双曲线右支上的点A，有AF₁的距离减去AF₂的距离等于2a。首先计算AF₂的距离，由于A和F₂都在直线x等于c上，所以AF₂等于b²除以a。将已知条件F₁A等于13代入双曲线定义式，得到13减去b²除以a等于2a。将之前得到的b²等于5a代入，得到13减5等于2a，解得a等于4。因此b²等于20，c²等于36，所以c等于6。 最后计算离心率。离心率e等于c除以a，即6除以4等于二分之三。让我们验证一下结果：AB的长度等于2b²除以a等于10，符合题意；F₁A减去AF₂等于13减5等于8，正好等于2a。因此，双曲线C的离心率为二分之三。