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极坐标系是一种重要的坐标系统，它用距离r和角度θ来表示平面上点的位置。与直角坐标系不同，极坐标系特别适合描述具有旋转对称性的图形和问题。在极坐标系中，点P的位置由到原点O的距离r和与极轴的夹角θ确定。
极坐标系中有许多经典的曲线形状。圆形可以用r等于常数表示，或者用r等于2a乘以cos θ表示过原点的圆。心形线的方程是r等于a乘以1加cos θ，形状像心脏。玫瑰线的方程是r等于a乘以cos n θ，会产生花瓣状的图案。这些曲线在极坐标系中的表达比在直角坐标系中简洁得多。
在极坐标系中计算面积有专门的公式。对于由极坐标曲线r等于f(θ)围成的区域，面积公式是二分之一乘以从α到β积分r的平方dθ。以心形线为例，其方程为r等于a乘以1加cos θ，计算其围成的面积，我们需要从0到2π积分，最终得到面积为二分之三π乘以a的平方。
极坐标在二重积分中有重要应用。当积分区域是圆形或扇形时，使用极坐标可以大大简化计算。关键是要记住面积微元dA等于r乘以dr乘以dθ。例如计算圆形区域上函数x平方加y平方的积分，转换为极坐标后变成r的三次方，积分计算变得非常简单。
极坐标在物理学中有广泛应用，特别是在描述具有中心对称性的现象时。最著名的例子是开普勒第一定律，描述行星绕太阳的椭圆轨道。在极坐标系中，椭圆轨道的方程非常简洁。此外，万有引力、电磁场等中心力场问题都可以用极坐标优雅地描述和求解。