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要证明1+1=2，我们需要从数学的基础开始。这个看似简单的等式实际上建立在严格的数学公理系统之上。我们将使用皮亚诺公理来展示这个推导过程。皮亚诺公理定义了自然数的基本性质，包括起始元素0、后继函数，以及1和2的定义。
现在我们来定义加法运算。加法是通过两个递归规则来定义的。第一个规则说，任何数加上0等于它本身。第二个规则说，一个数加上另一个数的后继，等于这个数加上那个数的结果的后继。这两个简单的规则就完全定义了加法运算。
现在让我们一步步推导1+1=2。首先写出1+1。根据1等于S(0)的定义，我们可以将1+1写成1+S(0)。然后应用加法规则n+S(m)=S(n+m)，得到S(1+0)。再应用规则n+0=n，得到S(1)。最后，根据2=S(1)的定义，我们得到2。因此，1+1=2得到了严格的证明。
除了严格的公理证明，我们也可以通过直观的方式理解1+1=2。比如一个苹果加上一个苹果等于两个苹果。在集合论中，单元素集合a与单元素集合b的并集是包含a和b的二元素集合。这些直观的例子都体现了相同的数学原理，帮助我们理解抽象的数学概念。
总结一下，我们通过皮亚诺公理系统严格证明了1+1=2这个看似简单的等式。这个证明过程展示了数学的严谨性和逻辑性，说明即使是最基本的数学概念也需要精确的定义和严格的推导。公理系统是整个数学大厦的基础，而形式化证明确保了数学结论的可靠性。这就是数学之美所在。