视频字幕
我们来分析函数 f(x) = -x² + 5x + 6 的图像。这是一个二次函数，其中二次项系数 a = -1 是负数，这意味着抛物线开口向下。我们可以看到这个函数的图像是一条向下开口的抛物线。
现在我们来找到这个抛物线的顶点和对称轴。对于二次函数，顶点的横坐标公式是 h = -b/(2a)。代入我们的值，h = -5/(2×(-1)) = 5/2。然后计算顶点的纵坐标 k = f(5/2) = 49/4。所以顶点坐标是 (5/2, 49/4)，也就是 (2.5, 12.25)。对称轴是经过顶点的垂直线，方程为 x = 5/2。
接下来我们找到函数与坐标轴的交点。y轴截距是当x等于0时的函数值，f(0) = 6，所以y轴截距是点(0, 6)。x轴截距是函数值为0的点，解方程 -x² + 5x + 6 = 0，可以因式分解为 (x + 1)(x - 6) = 0，得到 x = -1 和 x = 6，所以x轴截距是 (-1, 0) 和 (6, 0)。
现在我们来确定函数的定义域和值域。二次函数的定义域是所有实数，即从负无穷到正无穷。由于这是一个开口向下的抛物线，函数有最大值，就是顶点的y坐标 49/4，也就是12.25。因此值域是从负无穷到 49/4，包括 49/4 这个最大值。
让我们总结一下函数 f(x) = -x² + 5x + 6 的所有关键特征。这是一个开口向下的抛物线，顶点在 (2.5, 12.25)，对称轴是 x = 2.5。函数与x轴的交点是 (-1, 0) 和 (6, 0)，与y轴的交点是 (0, 6)。定义域是所有实数，值域是从负无穷到 12.25。这些特征完整地描述了这个二次函数的图像和性质。