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二阶导数是函数的一阶导数的导数，它描述了函数变化率的变化率。以函数f(x)=x²为例，它的一阶导数是f'(x)=2x，表示函数的变化率。而二阶导数f''(x)=2，是一个常数，表示变化率的变化率保持不变。
二阶导数的几何意义与函数的凹凸性密切相关。当二阶导数大于零时，函数图像向上凹，称为凸函数，如抛物线y=x²。当二阶导数小于零时，函数图像向下凹，称为凹函数。当二阶导数等于零且凹凸性发生改变时，该点可能是拐点，如函数y=x³/3在原点处的拐点。
计算二阶导数需要两个步骤。第一步，对原函数求一阶导数。以函数f(x)=x³-2x²+3x-1为例，它的一阶导数是f'(x)=3x²-4x+3。第二步，对得到的一阶导数再次求导，得到二阶导数f''(x)=6x-4。这样我们就完成了二阶导数的计算。
二阶导数检验法是判断函数极值的重要工具。当一阶导数等于零时，我们可以用二阶导数来判断该点的性质。如果二阶导数大于零，说明函数在该点向上凹，是极小值点。如果二阶导数小于零，说明函数向下凹，是极大值点。图中展示了一个四次函数，它有两个极小值点和一个极大值点。
二阶导数在数学和物理中有广泛的应用。首先，它可以判断函数的凹凸性，二阶导数大于零表示向上凹，小于零表示向下凹。其次，当二阶导数等于零且凹凸性发生改变时，可以找到函数的拐点。第三，二阶导数检验法帮助我们判断极值点的性质。最后，在物理学中，二阶导数表示加速度，描述速度变化的快慢。这些应用使二阶导数成为微积分中的重要工具。