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馬可夫鍊是一種特殊的隨機過程，它具有一個重要的性質叫做馬可夫性質。這個性質的核心概念是「無記憶性」，意思是系統的未來狀態只取決於當前狀態，而與過去的歷史狀態無關。
馬可夫性質可以用數學公式來精確表達。給定當前狀態的條件下，未來狀態的機率分佈與過去的狀態序列無關。這意味著系統在時刻n+1的狀態，只取決於時刻n的狀態，而不需要知道更早的歷史信息。
轉移矩陣是描述馬可夫鍊的核心工具。矩陣中的每個元素P_{ij}表示從狀態i轉移到狀態j的機率。轉移矩陣有兩個重要性質：每行的元素和必須等於1，因為從任何狀態出發必須轉移到某個狀態；所有元素都是非負的，因為機率不能是負數。
讓我們看一個實際的例子：天氣預測。我們可以用馬可夫鍊來建模天氣變化，假設只有晴天和雨天兩種狀態。如果今天是晴天，明天仍是晴天的機率是70%，變成雨天的機率是30%。如果今天是雨天，明天變晴天的機率是40%，仍是雨天的機率是60%。這個模型體現了馬可夫性質：明天的天氣只取決於今天，而不需要知道昨天或更早的天氣情況。
總結一下，馬可夫鍊是一種具有無記憶性的隨機過程，其核心特點是未來狀態只依賴於當前狀態，而與過去的歷史無關。我們可以用轉移矩陣來精確描述狀態間的轉移機率。馬可夫鍊在許多領域都有廣泛應用，包括金融中的股價預測、生物學中的基因序列分析、以及計算機科學中的各種演算法。它是理解和建模隨機過程的重要數學工具。