\section*{题目} 设 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，$M = \{(x_i, y_i) \mid x_i \in A, y_i \in A\}$。从 $M$ 中选出 $n$ 个元素构成一列 $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$。若相邻两项 $(x_i, y_i)$ 和 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ 满足： \[ \begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 3 & |y_{i+1} - y_i| = 4 \\ |x_{i+1} - x_i| = 4 & |y_{i+1} - y_i| = 3 \end{cases} \] 则称此序列为 $k$ 列。 \begin{enumerate} \item 证明：$M$ 中所有元素都不构成 $k$ 列。 \end{enumerate}

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我们来理解这个k列问题。集合A包含1到8的整数，M是A中元素构成的有序对的集合。k列是满足特定条件的序列：相邻两项的x坐标差的绝对值为3且y坐标差的绝对值为4，或者x坐标差的绝对值为4且y坐标差的绝对值为3。图中展示了一个满足条件的相邻项对例子。 首先我们来理解题目的定义。集合A包含1到8这8个数字，集合M是所有可能的有序对的集合，其中每个坐标都来自A。k列是满足特定条件的序列：相邻两项的坐标差要么是(3,4)，要么是(4,3)。现在我们需要证明M中的所有元素都不构成k列。 现在我们理解题目的真正含义。"M中所有元素都不构成k列"是指，对于M中任意一个元素，由它单独构成的序列不是k列。当我们考虑单个元素(x,y)构成的序列时，这个序列长度为1。根据k列定义，需要检查相邻项的条件，但长度为1的序列没有相邻项，因此无法满足k列的定义要求。 实际上，题目的正确理解应该是证明不存在包含M中所有64个元素的k列。这相当于在一个图中寻找哈密顿路径的问题。每个点代表M中的一个元素，两点之间有边当且仅当它们满足k列的相邻条件。我们需要证明这个图中不存在经过所有顶点的路径。 证明的关键思路是使用棋盘着色法。我们将8×8的网格按照棋盘模式着色，黑白相间。通过分析k列移动的性质，我们发现每次移动的坐标差之和都是7，这是奇数，意味着每次移动都会改变格子的颜色。因此，任何k列都必须在黑白格之间交替。由于黑格和白格各有32个，最长的k列最多只能包含33个元素，远少于全部64个元素。 通过棋盘着色的可视化，我们可以清楚地看到证明的核心思想。在这个8×8的棋盘上，黑白格交替排列。红色箭头显示了k列的移动模式，每次移动都从一种颜色的格子跳到另一种颜色的格子。这种交替性质限制了k列的最大长度，使得无法包含所有64个元素。因此，我们成功证明了M中所有元素都不能构成单一的k列。 实际上，题目的正确理解应该是证明不存在包含M中所有64个元素的k列。这相当于在一个图中寻找哈密顿路径的问题。每个点代表M中的一个元素，两点之间有边当且仅当它们满足k列的相邻条件。我们需要证明这个图中不存在经过所有顶点的路径。 证明的关键思路是使用棋盘着色法。我们将8×8的网格按照棋盘模式着色，黑白相间。通过分析k列移动的性质，我们发现每次移动的坐标差之和都是7，这是奇数，意味着每次移动都会改变格子的颜色。因此，任何k列都必须在黑白格之间交替。由于黑格和白格各有32个，最长的k列最多只能包含33个元素。 通过完整的证明，我们成功展示了为什么M中所有元素无法构成单一的k列。棋盘着色法揭示了k列移动的本质：每次移动都必须改变格子颜色，导致k列在黑白格间交替。由于黑格和白格各有32个，任何k列最多只能包含33个元素，远少于M中的64个元素。因此，不存在包含所有元素的k列，证明完毕。