\section*{题目} 设 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，$M = \{(x_i, y_i) \mid x_i \in A, y_i \in A\}$。从 $M$ 中选出 $n$ 个元素构成一列 $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$。若相邻两项 $(x_i, y_i)$ 和 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ 满足： \[ \begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 3 & |y_{i+1} - y_i| = 4 \\ |x_{i+1} - x_i| = 4 & |y_{i+1} - y_i| = 3 \end{cases} \] 则称此序列为 $k$ 列。 \begin{enumerate} \item 若 $k$ 列的第一项为 $(3, 3)$，求第二项。 \item 若 $\tau$ 为 $k$ 列，且满足 $i$ 为奇数时 $x_i \in \{1, 2, 7, 8\}$，$i$ 为偶数时 $x_i \in \{3, 4, 5, 6\}$。判断 $(3, 2)$ 与 $(4, 4)$ 能否同时在 $\tau$ 中，并说明理由。 \item 证明：$M$ 中所有元素都不构成 $k$ 列。 \end{enumerate}

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这是一个关于序列构造的数学问题。我们有集合A包含1到8的整数，M是A的笛卡尔积。k列是满足特定条件的序列：相邻两项的坐标差要么是横坐标差3纵坐标差4，要么是横坐标差4纵坐标差3。让我们通过可视化来理解这个问题。 现在解决第一题。已知k列的第一项为(3,3)，我们需要找出所有可能的第二项。根据k列的定义，相邻两项必须满足坐标差的条件。从(3,3)出发，我们计算所有满足条件的点。经过计算，在集合A的范围内，只有(6,7)和(7,6)两个点满足条件。 第二题分析τ序列的奇偶性质。根据题目条件，奇数位置的x坐标必须在{1,2,7,8}中，偶数位置的x坐标必须在{3,4,5,6}中。我们用蓝色表示奇数位置区域，红色表示偶数位置区域。观察(3,2)和(4,4)两点，它们的x坐标都是3和4，都属于偶数位置区域。这意味着如果它们同时出现在序列中，必须都占据偶数位置，但这与k列的连续性要求矛盾，因此答案是不能。 现在证明第三题。关键观察是k列中每一步移动的距离都是5。无论是(3,4)移动还是(4,3)移动，根据勾股定理，距离都是5。在8×8的网格中，从任意一点出发，最多只能进行有限步数的移动就会越界。由于网格的有限性和每步移动距离较大，不可能构成包含所有64个元素的k列。这个几何约束是证明的核心。 让我们总结这道k列问题的完整解答。第一题，从(3,3)出发的第二项有两个可能：(6,7)和(7,6)。第二题，通过奇偶性分析，(3,2)和(4,4)不能同时出现在满足条件的τ序列中。第三题，由于8×8网格的有限性和k列每步移动距离为5的约束，不可能构成包含所有元素的k列。这个问题巧妙地结合了组合数学、几何约束和奇偶性分析。