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我们要证明三角形的垂心性质。设三角形ABC中，从顶点A向对边BC作垂线AD，从顶点B向对边AC作垂线BE。这两条垂线的交点H称为三角形的垂心。我们需要证明连接垂心H与第三个顶点C的直线也垂直于对边AB。
证明的关键是利用四点共圆的性质。由于角BDH和角BEH都是直角，根据圆的性质，如果一个四边形的对角之和等于180度，那么这四个点在同一个圆上。因此，点B、D、H、E四点共圆，它们都在以BH为直径的圆上。
接下来利用圆周角的性质。同样地，由于角CDH和角CEH都是直角，点C、D、H、E也四点共圆。根据圆周角性质，同弧所对的圆周角相等。在圆BDHE中，角HBE等于角HDE，因为它们都对着弧HE。在圆CDHE中，角HDE等于角HCE，同样对着弧HE。因此角HBE等于角HCE。
现在进行角度计算。我们已经证明了角HBE等于角HCE。在直角三角形ABE中，由于角AEB是直角，所以角ABE等于90度减去角A。因为H在线段BE上，所以角HBE就等于角ABE，即90度减去角A。因此，角HCE也等于90度减去角A。
最后完成证明。设直线CH与AB的交点为F。在三角形ACF中，角FAC等于角A，角ACF等于90度减去角A。根据三角形内角和等于180度，我们有：角AFC加上角A加上90度减去角A等于180度。化简得到角AFC等于90度。这意味着直线CF垂直于直线AB。因此，我们成功证明了三角形两个顶点所作垂线的交点与第三个顶点的连线垂直于该顶点的对边。这就是三角形垂心的重要性质。