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宇宙速度是航天学中的重要概念。第一宇宙速度是指物体在地球表面附近进行圆周运动所需的最小速度，此时万有引力恰好提供向心力。第二宇宙速度是指物体完全摆脱地球引力束缚、飞离地球所需的最小速度。
现在推导第一宇宙速度的公式。对于在地球表面附近做圆周运动的物体，万有引力恰好提供向心力。根据万有引力定律和向心力公式，可得GMm除以R平方等于mv1平方除以R。化简后得到v1平方等于GM除以R，因此第一宇宙速度v1等于根号下GM除以R。
第二宇宙速度的推导基于能量守恒定律。物体要完全摆脱地球引力束缚，其总机械能必须至少为零。动能加上引力势能等于零，即二分之一mv2平方减去GMm除以R等于零。化简后得到v2平方等于2GM除以R，因此第二宇宙速度v2等于根号下2GM除以R。
现在比较两个速度公式的关系。第一宇宙速度v1等于根号下GM除以R，第二宇宙速度v2等于根号下2GM除以R。将v2重新表示为根号2乘以根号下GM除以R，即根号2乘以v1。因此，第二宇宙速度是第一宇宙速度的根号2倍，约等于1.414倍。
总结一下，第一宇宙速度是维持圆轨道运动的最小速度，而第二宇宙速度是完全摆脱地球引力束缚的最小速度。通过能量分析，我们得出第二宇宙速度等于根号2倍的第一宇宙速度。对于地球，第一宇宙速度约为7.9公里每秒，第二宇宙速度约为11.2公里每秒，比值确实是1.414。这个根号2的关系体现了轨道运动和逃逸运动在能量需求上的本质差异。