二项式定理是代数学中的一个重要公式，用来展开像 (a + b) 的 n 次方这样的表达式。让我们从简单的例子开始看看规律。当 n 等于 1 时，结果就是 a 加 b。当 n 等于 2 时，展开后得到 a 的平方加 2ab 加 b 的平方。当 n 等于 3 时，展开后有四项。
让我们观察这些展开式的系数。当我们把系数提取出来，会发现一个有趣的规律。n等于1时系数是1和1，n等于2时是1、2、1，n等于3时是1、3、3、1。把这些数字按三角形排列，就得到了著名的杨辉三角。杨辉三角的规律是：每一行的首尾都是1，中间的每个数字都是它正上方两个数字的和。
杨辉三角中的数字实际上就是组合数。组合数 C(n,k) 表示从 n 个不同物品中选出 k 个的方法数，计算公式是 n 的阶乘除以 k 的阶乘乘以 n 减 k 的阶乘。以 (a+b) 的三次方为例，各项系数分别是 C(3,0) 等于 1，C(3,1) 等于 3，C(3,2) 等于 3，C(3,3) 等于 1。这样我们就建立了杨辉三角、组合数和二项式系数之间的联系。
现在我们来看二项式定理的通用公式。(a+b) 的 n 次方等于从 k 等于 0 到 n 的求和，每一项都是 C(n,k) 乘以 a 的 n 减 k 次方再乘以 b 的 k 次方。展开后总共有 n 加 1 项。让我们用 (a+b) 的四次方来举例说明。第一项是 C(4,0) 乘以 a 的四次方等于 a 的四次方，第二项是 4a 的三次方 b，第三项是 6a 的平方 b 的平方，第四项是 4ab 的三次方，最后一项是 b 的四次方。
二项式定理在实际中有广泛应用。它可以用于快速计算幂次展开、概率论中的二项分布、数值计算的近似等。让我们看一个实例：计算 1.01 的十次方。我们设 a 等于 1，b 等于 0.01，n 等于 10。根据二项式定理，主要的几项是：第一项等于 1，第二项等于 0.1，第三项约等于 0.0045，其他项都很小。所以结果约等于 1.1045。二项式定理为我们提供了强大的代数工具。