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极限是微积分的基础概念。它描述当自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。比如这个例子中，虽然函数在x等于1处没有定义，但当x无限接近1时，函数值无限接近2，所以极限值是2。
直接代入法是计算极限最简单的方法。当函数在目标点连续时，我们只需要将x的值直接代入函数表达式。例如，计算x趋向2时x平方加3x减1的极限，直接代入得到4加6减1等于9。这种方法适用于多项式、指数函数、对数函数等在定义域内连续的函数。
当直接代入出现零比零的不定式时，我们使用因式分解法。首先对分子x平方减1进行因式分解，得到x减1乘以x加1。然后约去分子分母的公因式x减1，得到x加1。最后代入x等于1，得到极限值2。图中蓝色曲线是原函数，红色直线是化简后的函数，它们在x不等于1时完全重合。
重要极限是计算极限的重要工具。第一个重要极限是当x趋向0时，sinx除以x的极限等于1。图中红色曲线显示了这个比值函数，可以看到当x接近0时，函数值趋向1。第二个重要极限涉及自然常数e，在复合函数和指数函数的极限计算中经常用到。掌握这些重要极限，可以通过变量替换解决许多复杂的极限问题。
洛必达法则是处理不定式极限的强大工具。当遇到零比零或无穷比无穷的不定式时，可以对分子分母分别求导，然后计算导数比的极限。例如，计算e的x次方减1除以x当x趋向0的极限。分子求导得到e的x次方，分母求导得到1，所以极限等于1。图中红色曲线显示了原函数的行为，可以看到在x等于0附近确实趋向1。使用洛必达法则前，必须确认是不定式形式。