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フーリエ変換について説明します。フーリエ変換は、時間とともに変化する複雑な信号を、異なる周波数を持つ単純な正弦波の組み合わせとして表現する数学的な手法です。この図では、複雑な波形が三つの異なる周波数の正弦波の重ね合わせで構成されていることを示しています。
フーリエ変換の数式を見てみましょう。フーリエ変換は、時間領域の関数f(t)を周波数領域の関数F(ω)に変換します。この変換により、時間で変化する信号が、どの周波数成分をどれだけ含んでいるかがわかります。逆フーリエ変換を使えば、周波数領域から時間領域に戻すこともできます。
フーリエ変換は様々な分野で応用されています。音声信号処理では音の周波数成分を分析し、画像処理では圧縮やフィルタリングに使用されます。通信システムでは信号の変調・復調に、医療分野ではMRIやCTスキャンの画像再構成に利用されています。この例では、異なる周波数の信号がどのようにスペクトルに現れるかを示しています。
実際のデジタル信号処理では、離散フーリエ変換、DFTが使用されます。DFTは連続信号を有限個のサンプル点で近似し、コンピュータで計算できるようにしたものです。この例では、8個のサンプル点からなる離散信号とそのDFTスペクトルを示しています。FFTアルゴリズムにより、DFTを効率的に計算することができます。
フーリエ変換についてまとめます。フーリエ変換は時間領域と周波数領域を結ぶ重要な数学的手法で、複雑な信号を単純な正弦波の組み合わせとして表現できます。音声処理、画像処理、通信、医療など様々な分野で応用され、現代の科学技術において不可欠なツールとなっています。デジタル処理では離散フーリエ変換やFFTが広く使用されています。