解决这道数学题，给出解题思路---**Question Number:** 11 **Question Stem:** 双曲线 C: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$, $F_2$，左、右顶点分别为 $A_1$, $A_2$，以 $F_1F_2$ 为直径的圆与 C 的一条渐近线交于 $M$、$N$ 两点，且 $\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}$，则 ( ) **Options:** A. $\angle A_1MA_2 = \frac{\pi}{6}$ B. (Blank space) C. C 的离心率为 $\sqrt{13}$ D. 当 $a = \sqrt{2}$ 时，四边形 $NA_1MA_2$ 的面积为 $8\sqrt{3}$

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这是一道关于双曲线与圆交点的几何问题。我们需要分析双曲线的基本性质，找出以焦点为直径的圆与渐近线的交点，并利用给定的角度条件求出离心率。让我们先建立坐标系，画出双曲线、渐近线和圆的图形。 首先建立坐标系。设双曲线方程为x²/a² - y²/b² = 1，其中a大于0，b大于0。左右焦点分别为F₁负c逗号0和F₂c逗号0，其中c²等于a²加b²。左右顶点分别为A₁负a逗号0和A₂a逗号0。以F₁F₂为直径的圆的圆心在原点，半径为c，方程为x²加y²等于c²。双曲线的渐近线方程为y等于正负b除以a乘以x。 现在求圆与渐近线的交点。将渐近线方程y等于b除以a乘以x代入圆的方程x²加y²等于c²。展开得到x²乘以括号1加b²除以a²等于c²。化简为x²乘以a²加b²除以a²等于c²。由于c²等于a²加b²，所以x²乘以c²除以a²等于c²。约去c²得到x²等于a²，因此x等于正负a。当x等于a时，y等于b；当x等于负a时，y等于负b。所以交点为M括号a逗号b和N括号负a逗号负b。 现在利用角度条件∠NA₁M等于5π/6来建立方程。首先计算向量A₁N和A₁M。A₁的坐标是负a逗号0，N的坐标是负a逗号负b，M的坐标是a逗号b。所以向量A₁N等于括号0逗号负b，向量A₁M等于括号2a逗号b。利用向量夹角公式，余弦θ等于向量u点乘向量v除以向量u的模乘以向量v的模。计算得到向量A₁N点乘向量A₁M等于负b²，向量A₁N的模等于b，向量A₁M的模等于根号4a²加b²。因为角度是5π/6，所以余弦5π/6等于负根号3除以2。 现在求解离心率。从前面的等式负根号3除以2等于负b除以根号4a²加b²，化简得到b除以根号4a²加b²等于根号3除以2。两边平方得到b²除以4a²加b²等于4分之3。交叉相乘得到4b²等于3乘以4a²加b²，展开为4b²等于12a²加3b²。化简得到b²等于12a²。现在计算离心率。离心率的平方e²等于c²除以a²，也等于a²加b²除以a²，即1加b²除以a²。将b²等于12a²代入，得到e²等于1加12等于13。因此离心率e等于根号13。答案是选项C。