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数值积分是计算数学中定积分近似值的重要方法。当我们遇到复杂函数或只有数据点时，解析方法往往无法直接求解。数值积分通过将积分区间分割成小段，用简单函数近似原函数，然后累加这些小段的面积来估算总积分值。
矩形法则是数值积分的基础方法。我们将积分区间等分成若干小段，在每个小段内用矩形来近似曲线下的面积。矩形的高度通常取区间左端点的函数值。虽然精度不高，但概念简单，是理解数值积分的重要起点。当分割越细，近似效果越好。
梯形法则是矩形法则的改进版本。我们不再用水平线段，而是用直线连接每个小区间两端的函数值，形成梯形来近似曲线下的面积。这样能更好地拟合曲线的变化趋势，通常比矩形法则具有更高的精度。梯形的面积等于上下底之和乘以高再除以二。
辛普森法则是更精确的数值积分方法。它不使用直线，而是用抛物线来近似函数。每次取三个相邻的点，用二次函数拟合这三点，然后计算抛物线下的面积。由于抛物线能更好地逼近曲线的弯曲特性，辛普森法则通常比梯形法则具有更高的精度。
数值积分在现代科学计算中有着广泛的应用。在物理学中用于计算质心和转动惯量，在工程学中用于结构分析和流体力学计算，在统计学中用于概率密度函数的积分，在经济学中用于成本和收益分析。不同的数值积分方法各有特点：矩形法则简单但精度较低，梯形法则精度适中，辛普森法则精度最高但计算量也最大。选择合适的方法需要平衡精度要求和计算成本。