视频讲解上面的题目---【例 1.4】 求下列积分 y(t), 并画出 y(t) 的波形。 (1) y_1(t) = $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(4-2t) dt$ (2) y_2(t) = $\int_{-\infty}^{t} \delta(4-2\tau) d\tau$ (3) y_3(t) = $\int_{t}^{\infty} \delta(4-2t) dt$ (4) y_4(t) = $\int_{t-2}^{\infty} \delta(4-2\tau) d\tau$

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这是一道关于冲激函数积分的典型问题。我们需要计算四个不同的积分，并画出相应的波形。首先，让我们理解冲激函数δ(4-2t)的性质。通过变量替换，我们可以将其写成标准形式：δ(4-2t) = 1/2 × δ(t-2)，这表示在t=2处有一个幅度为1/2的冲激。 现在我们来解第一题。首先需要化简冲激函数δ(4-2t)。利用冲激函数的尺度变换性质，δ(4-2t)等于δ(-2(t-2))，进一步等于1/2乘以δ(t-2)。然后计算积分，由于冲激函数在整个实轴上的积分等于1，所以结果是1/2。这是一个常数函数，波形是位于y等于1/2的水平直线。 第二题是一个变上限积分。同样先化简冲激函数得到1/2乘以δ(τ-2)。这个积分的结果利用冲激函数的积分性质：从负无穷到t对δ(τ-2)的积分等于单位阶跃函数u(t-2)。所以最终结果是1/2乘以u(t-2)。这是一个阶跃函数，当t小于2时值为0，当t大于等于2时值为1/2，在t等于2处发生跳跃。 现在我们来看第三题和第四题。第三题是从t到无穷的积分，结果是1/2乘以(1-u(t-2))，这是一个反向阶跃函数，在t小于2时值为1/2，t大于等于2时值为0。第四题的积分下限是t-2，结果是1/2乘以(1-u(t-4))，跳跃点移到了t等于4。关键在于判断积分区间是否包含冲激点τ等于2。图中绿色线表示y₃(t)，紫色线表示y₄(t)。 最后我们总结一下四个积分的结果。第一个是常数1/2，第二个是从t=2开始的阶跃函数，第三个是在t=2结束的反向阶跃函数，第四个是在t=4结束的反向阶跃函数。解决这类问题的关键是掌握冲激函数的尺度变换、理解积分区间与冲激点的关系，以及熟练运用单位阶跃函数的性质。通过这个例题，我们可以看到冲激函数积分在信号处理中的重要应用。