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开普勒第三定律是天体力学的重要定律之一。它揭示了行星绕太阳运动时，轨道周期与轨道大小之间的数学关系。简单来说，离太阳越远的行星，绕太阳运行一周所需的时间就越长。
开普勒第三定律的数学表达式为：T的平方与a的立方成正比，即T²∝a³。这可以写成T²/a³等于常数K的形式。其中T是轨道周期，a是轨道半长轴，K是对所有绕同一中心天体运动的物体都相同的常数。图中显示了这种立方关系，可以看到随着轨道半径增大，周期的平方呈立方增长。
现在让我们观察两个行星的实际运动。蓝色行星在内轨道运行，红色行星在外轨道运行。可以看到，内轨道的蓝色行星运行得更快，很快就完成一圈，而外轨道的红色行星运行得较慢，需要更长时间才能完成一圈。这直观地展示了开普勒第三定律：轨道越大，周期越长。
让我们用太阳系的实际数据来验证开普勒第三定律。这个表格显示了各行星的轨道半长轴、周期，以及计算出的T²/a³比值。可以看到，尽管各行星的轨道大小和周期差异巨大，但T²/a³的比值都约等于1，这证实了开普勒第三定律的正确性。这个常数对所有绕太阳运动的天体都相同。
开普勒第三定律在现代科学技术中有广泛应用。它不仅帮助我们理解太阳系行星运动，还用于计算人造卫星轨道、发现系外行星、设计航天器轨道等。该定律适用于所有引力系统，从地球卫星到双星系统，再到星系动力学，都遵循这一普遍规律。这体现了物理定律的普适性和数学描述自然现象的强大力量。