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三角函数公式是数学中描述角与边之间关系的基础工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。在直角三角形中，我们定义正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边。这些基本定义是所有三角函数公式的基础。
基本关系式包括倒数关系、商数关系和平方关系。倒数关系表示余割、正割、余切分别是正弦、余弦、正切的倒数。商数关系表示正切等于正弦除以余弦。最重要的是平方关系，即正弦平方加余弦平方等于1，这来源于单位圆的方程。
和差角公式是三角函数中最重要的公式之一，它们将两个角的和或差的三角函数表示为这两个角各自三角函数的组合。倍角公式是和差角公式的特殊情况，当两个角相等时得到。这些公式是推导其他三角恒等式的基础。
积化和差公式将三角函数的乘积转化为和或差的形式，而和差化积公式则相反，将和或差转化为乘积形式。这些公式在化简表达式、求解积分和分析波形叠加等方面非常有用。图中展示了两个正弦函数的乘积如何表示为和差形式。
半角公式由倍角公式变形得来，用于将半角的三角函数表示为原角三角函数的表达式。万能公式使用半角正切作为参数，可以将任何三角函数表示为关于半角正切的有理式，这在积分和方程求解中非常有用。掌握这些公式能够灵活地进行三角恒等变换。